Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Sport - Elfmeterschießen/Modellierungszyklus 3

Ziel des dritten Modellierungszyklus

• Darstellung der Formel aus dem zweiten Modellierungszyklus in einem Koordinatensystem
• Erweiterung des Modells mithilfe mehrerer Faktoren, die in der Realität eine Rolle spielen
• Darstellung der erarbeiteten Funktion in einem Koordinatensystem
• Darstellung einer sogenannten Heatmap für die zu überschreitenden Geschwindigkeiten

Darstellung der Funktion aus Zyklus 2

Darstellung der Funktion aus Zyklus 2

Erläuterung der Abbildung

• zu überschreitende Geschwindigkeit vor allem im Bereich der Handpunkte schnell gegen unendlich
• Symmetrie zu erkennen, wobei die senkrechte Gerade durch die Mitte des Tors prinzipiell die Spiegelachse bildet
• zu überschreitende Geschwindigkeiten werden geringer, je weiter sie von den Handpunkten entfernt sind

Position der Hände abhängig von den Körpermaßen

• Angabe der Handpunkte in Abhängigkeit von den Körpermaßen
• je nach Köprergröße und Körperbau sind die Positionen der beiden Hände unterschiedlich
• Annahme: Hände neben dem Torwart auf Hüfthöhe
• $H_1=\left(\begin{array}{c}0\\ 3.66-(\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}+0.1)\\ h_{Schritt}\end{array}\right)$
• $H_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 3.66+(\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}+0.1)\\ h_{Schritt}\end{array}\right)$
• Nutzung von $H_1$, falls $y\le 3.66$
• Nutzung von $H_2$, falls $y>3.66$

Strecke des Torwarts

 $s_{Torwart}=\{\begin{array}{cc}\sqrt{(3.66-(\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}+0.1)-y{)}^2+(h_{Schritt}-z{)}^2}& \text{wenn }y\le 3.66\\ \sqrt{(3.66+(\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}+0.1)-y{)}^2+(h_{Schritt}-z{)}^2}& \text{wenn }y>3.66\end{array}$

Reaktionszeit des Torwarts

• Annahme: Torwart muss auf Schuss reagieren, bevor er seine Bewegung einleitet
• Reaktionszeit wird zur vorherigen Zeit des Torwarts bis zum Treffpunkt addiert

$t_{Torwart}=\frac{s_{Torwart}}{v_{Torwart}}+t_{Reaktion}$

• mit Einbezug der erarbeiteten Handpunkte:

$t_{Torwart}=\{\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{(3.66-(\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}+0.1)-y{)}^2+(h_{Schritt}-z{)}^2}}{v_{Torwart}}+t_{Reaktion}& \text{wenn }y\le 3.66\\ \frac{\sqrt{(3.66+(\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}+0.1)-y{)}^2+(h_{Schritt}-z{)}^2}}{v_{Torwart}}+t_{Reaktion}& \text{wenn }y>3.66\end{array}$

Einbezug der Gleichung in die Ungleichung aus Zyklus 2

 $t_{Ball}$ < $t_{Torwart}$

Ungleichung aus Zyklus 2

$⟺v_{Ball}>\{\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{11^2+(3.66-y{)}^2+z^2}}{\frac{\sqrt{(3.66-(\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}+0.1)-y{)}^2+(h_{Schritt}-z{)}^2}}{v_{Torwart}}+t_{Reaktion}}& \text{wenn }y\le 3.66\\ \frac{\sqrt{11^2+(3.66-y{)}^2+z^2}}{\frac{\sqrt{(3.66+(\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}+0.1)-y{)}^2+(h_{Schritt}-z{)}^2}}{v_{Torwart}}+t_{Reaktion}}& \text{wenn }y>3.66\end{array}$

Verfeinerung der Torwartbewegung als Translation und Rotation

• in Zyklus 2 lediglich Translation der Handpunkte betrachtet
• genauere Analyse der Armbewegung
• Mischform einer Translation und eine Rotation um ein Schultergelenk
• Bewegungen werden nicht nacheinander, sondern gleichzeitig ausgeführt
• Zeit führt Gesamtbewegung ergibt sich aus dem zeitlichen Maximum der beiden Teilbewegungen

Translatorische Bewegung

• Schulterpunkte müssen betrachtet werden
• $S_1=\left(\begin{array}{c}0\\ 3.66-\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}\\ h_{\text{Körper}}-0.3\end{array}\right)$
• $S_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 3.66+\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}\\ h_{\text{Körper}}-0.3\end{array}\right)$
• Ball dennoch mit den Händen halten
• Entfernung, die zurückgelegt werden muss ergibt sich aus dem Abstand der Schulterpunkte zum Treffpunkt, wobei davon die Armlänge subtrahiert wird

Darstellung Entfernung Translationsbewegung

• gewählte Körpermaße: 1.80m groß, 0.4m Hüftbreite, 0.7m Armlänge

  

  1000x600

Darstellung Entfernung Translationsbewegung

 $s_{Translation}=\{\begin{array}{cc}\sqrt{(3.66-\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}-y{)}^2+(h_{\text{Körper}}-0.3-z{)}^2}-a& \text{wenn }y\le 3.66\\ \sqrt{(3.66+\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}-y{)}^2+(h_{\text{Körper}}-0.3-z{)}^2}-a& \text{wenn }y>3.66\end{array}$

Zeit für Translationsbewegung

 $t_{Translation}=\{\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{(3.66-\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}-y{)}^2+(h_{\text{Körper}}-0.3-z{)}^2}-a}{v_{Torwart}}+t_{Reaktion}& \text{wenn }y\le 3.66\\ \frac{\sqrt{(3.66+\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}-y{)}^2+(h_{\text{Körper}}-0.3-z{)}^2}-a}{v_{Torwart}}+t_{Reaktion}& \text{wenn }y>3.66\end{array}$

Rotatorische Bewegung

• Beschreibung der Rotationsbewegung des Armes um das Schultergelenk
• Berechnung des Winkels, der vom Arm überschritten wird
• $\text{ω}=\frac{\phi }{t}$, mit $\phi$ als Winkel, ω als Winkelgeschwindigkeit und t als Zeit $⟺t=\frac{\phi }{\text{ω}}$

Rotation um die Schulterpunkte

• der Winkel, den der Arm überschreiten muss, wird von den Strecken $S_1{H}_1$ und $S_{1}T$, beziehungsweise $S_2{H}_2$ und $S_{2}T$ eingeschlossen

Rotation um die Schulterpunkte

$\phi =\{\begin{array}{cc}arccos\frac{(3.66-\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}-y)\cdot (-\frac{3b_{\text{Hüfte}}}{2})+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)\cdot (h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}{\sqrt{(3.66-\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}-y{)}^2+(h_{\text{Körper}}-0.3-z{)}^2}\cdot \sqrt{(-\frac{3b_{\text{Hüfte}}}{2}{)}^2+(h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}}& \text{wenn }y\le 3.66\\ arccos\frac{(3.66+\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}-y)\cdot (\frac{3b_{\text{Hüfte}}}{2})+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)\cdot (h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}{\sqrt{(3.66+\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}-y{)}^2+(h_{\text{Körper}}-0.3-z{)}^2}\cdot \sqrt{(\frac{3b_{\text{Hüfte}}}{2}{)}^2+(h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}}& \text{wenn }y>3.66\end{array}$

Zeit der Roatationsbewegung

$t_{Rotation}=\{\begin{array}{cc}\frac{arccos\frac{(3.66-\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}-y)\cdot (-\frac{3b_{\text{Hüfte}}}{2})+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)\cdot (h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}{\sqrt{(3.66-\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}-y{)}^2+(h_{\text{Körper}}-0.3-z{)}^2}\cdot \sqrt{(-\frac{3b_{\text{Hüfte}}}{2}{)}^2+(h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}}}{\text{ω}}+t_{Reaktion}& \text{wenn }y\le 3.66\\ \frac{arccos\frac{(3.66+\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}-y)\cdot (\frac{3b_{\text{Hüfte}}}{2})+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)\cdot (h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}{\sqrt{(3.66+\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}-y{)}^2+(h_{\text{Körper}}-0.3-z{)}^2}\cdot \sqrt{(\frac{3b_{\text{Hüfte}}}{2}{)}^2+(h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}}}{\text{ω}}+t_{Reaktion}& \text{wenn }y>3.66\end{array}$

Zeit, die der Torwart zum Treffpunkt benötigt

$t_{Torwart}=$

$\{\begin{array}{cc}max(\frac{\sqrt{(3.66-\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}-y{)}^2+(h_{\text{Körper}}-0.3-z{)}^2}-a}{v_{Torwart}}+t_{Reaktion};\frac{arccos\frac{(3.66-\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}-y)\cdot (-\frac{3b_{\text{Hüfte}}}{2})+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)\cdot (h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}{\sqrt{(3.66-\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}-y{)}^2+(h_{\text{Körper}}-0.3-z{)}^2}\cdot \sqrt{(-\frac{3b_{\text{Hüfte}}}{2}{)}^2+(h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}}}{\text{ω}}+t_{Reaktion})& \text{wenn }y\le 3.66\\ max(\frac{\sqrt{(3.66+\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}-y{)}^2+(h_{\text{Körper}}-0.3-z{)}^2}-a}{v_{Torwart}}+t_{Reaktion};\frac{arccos\frac{(3.66+\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}-y)\cdot (\frac{3b_{\text{Hüfte}}}{2})+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)\cdot (h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}{\sqrt{(3.66+\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}-y{)}^2+(h_{\text{Körper}}-0.3-z{)}^2}\cdot \sqrt{(\frac{3b_{\text{Hüfte}}}{2}{)}^2+(h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}}}{\text{ω}}+t_{Reaktion})& \text{wenn }y>3.66\end{array}$

Erweiterung Trefferpunkt im Kreis der Armweite ums Schultergelenk

Befindet sich der Trefferpunkt innerhalb einer der Handkreise, so müssten wir nach unserem Modell eine Translation und eine Rotation ausführen. Da der/die Torhüter/in den Ball allerdings auch ohne eine Translation mit dem ausgestreckten Arm erreichen wird, beschränken wir die Bewegung des/der Torhüter/in in diesem Fall auf eine Rotation. Die Handkreise lassen sich wie folgt darstellen:

 $K_{S_1}=(y-3,66+\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}{)}^2+(z-h_{\text{Körper}}+0,3{)}^2\le a$
 $K_{S_2}=(y-3,66-\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}{)}^2+(z-h_{\text{Körper}}+0,3{)}^2\le a$

Veränderung von t_Torwart

 $t_{Torwart}=\{\begin{array}{cc}max(\frac{\sqrt{(3.66-\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}-y{)}^2+(h_{\text{Körper}}-0.3-z{)}^2}-a}{v_{Torwart}}+t_{Reaktion};\frac{arccos\frac{(3.66-\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}-y)\cdot (-\frac{3b_{\text{Hüfte}}}{2})+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)\cdot (h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}{\sqrt{(3.66-\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}-y{)}^2+(h_{\text{Körper}}-0.3-z{)}^2}\cdot \sqrt{(-\frac{3b_{\text{Hüfte}}}{2}{)}^2+(h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}}}{\text{ω}}+t_{Reaktion})& \text{wenn }y\le 3.66\wedge (y-3,66+\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}{)}^2+(z-h_{\text{Körper}}+0,3{)}^2>a\\ \frac{arccos\frac{(3.66-\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}-y)\cdot (-\frac{3b_{\text{Hüfte}}}{2})+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)\cdot (h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}{\sqrt{(3.66-\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}-y{)}^2+(h_{\text{Körper}}-0.3-z{)}^2}\cdot \sqrt{(-\frac{3b_{\text{Hüfte}}}{2}{)}^2+(h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}}}{\text{ω}}+t_{Reaktion}& \text{wenn }y\le 3.66\wedge (y-3,66+\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}{)}^2+(z-h_{\text{Körper}}+0,3{)}^2\le a\\ \frac{arccos\frac{(3.66+\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}-y)\cdot (\frac{3b_{\text{Hüfte}}}{2})+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)\cdot (h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}{\sqrt{(3.66+\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}-y{)}^2+(h_{\text{Körper}}-0.3-z{)}^2}\cdot \sqrt{(\frac{3b_{\text{Hüfte}}}{2}{)}^2+(h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}}}{\text{ω}}+t_{Reaktion}& \text{wenn }y>3.66\wedge (y-3,66-\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}{)}^2+(z-h_{\text{Körper}}+0,3{)}^2\le a\\ max(\frac{\sqrt{(3.66+\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}-y{)}^2+(h_{\text{Körper}}-0.3-z{)}^2}-a}{v_{Torwart}}+t_{Reaktion};\frac{arccos\frac{(3.66+\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}-y)\cdot (\frac{3b_{\text{Hüfte}}}{2})+(h_{\text{Körper}}-0.3-z)\cdot (h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}{\sqrt{(3.66+\frac{b_{\text{Hüfte}}}{2}-y{)}^2+(h_{\text{Körper}}-0.3-z{)}^2}\cdot \sqrt{(\frac{3b_{\text{Hüfte}}}{2}{)}^2+(h_{\text{Körper}}-0.3-h_{Schritt})}}}{\text{ω}}+t_{Reaktion})& \text{sonst}\end{array}$

Körpermaße in Abhängigkeit zur Körpergröße

• betrachtete Parameter beeinflussen die gesuchte Schussgeschwindigkeit
• zur Erleichterung: Körpermaße in Abhängigkeit zur Körpergröße k
• $\text{Armlänge: }a=\frac{k}{2}-0.2$
• $\text{Hüftbreite: }{b}_{\text{Hüfte}}=k-2a=0.4$
• $\text{Schritthöhe: }{h}_{Schritt}=\frac{k}{2}$

Schussgeschwindigkeit für einen beliebigen Treffpunkt

 $v_{Ball}>\{\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{11^2+(3.66-y{)}^2+z^2}}{max(\frac{\sqrt{(3.46-y{)}^2+(k-0.3-z{)}^2}-\frac{k}{2}+0.2}{v_{Torwart}}+t_{Reaktion};\frac{arccos\frac{(k-0.3-z)\cdot (\frac{k}{2}-0.3)}{\sqrt{(3.46-y{)}^2+(k-0.3-z{)}^2}\cdot (\frac{k}{2}-0.3)}}{\text{ω}}+t_{Reaktion})}& \text{wenn }y\le 3.66\wedge (y-3,46{)}^2+(z-k+0,3{)}^2>(\frac{k}{2})-0.2\\ \frac{\sqrt{11^2+(3.66-y{)}^2+z^2}}{\frac{arccos\frac{(k-0.3-z)\cdot (\frac{k}{2}-0.3)}{\sqrt{(3.46-y{)}^2+(k-0.3-z{)}^2}\cdot (\frac{k}{2}-0.3)}}{\text{ω}}+t_{Reaktion}}& \text{wenn }y\le 3.66\wedge (y-3.46{)}^2+(z-k+0,3{)}^2\le (\frac{k}{2})-0.2\\ \frac{\sqrt{11^2+(3.66-y{)}^2+z^2}}{\frac{arccos\frac{(k-0.3-z{)}^{\cdot }(\frac{k}{2}-0.3)}{\sqrt{(3.86-y{)}^2+(k-0.3-z{)}^2}\cdot (\frac{k}{2}-0.3)}}{\text{ω}}+t_{Reaktion}}& \text{wenn }y>3.66\wedge (y-3.86{)}^2+(z-k+0,3{)}^2\le (\frac{k}{2})-0.2\\ \frac{\sqrt{11^2+(3.66-y{)}^2+z^2}}{max(\frac{\sqrt{(3.86-y{)}^2+(k-0.3-z{)}^2}+\frac{k}{2}-0.2}{v_{Torwart}}+t_{Reaktion};\frac{arccos\frac{(k-0.3-z{)}^{\cdot }(\frac{k}{2}-0.3)}{\sqrt{(3.86-y{)}^2+(k-0.3-z{)}^2}\cdot (\frac{k}{2}-0.3)}}{\text{ω}}+t_{Reaktion})}& \text{sonst}\end{array}$

Parameter, die die nötige Schussgeschwindigkeit beeinflussen

• Körpergröße $k$ des Torwarts
• Bewegungsgeschwindigkeit $v_{Torwart}$ des Torwarts
• Winkelgeschwindigkeit $\text{ω}$ der Arme des Torwarts
• Reaktionszeit $t_{Reaktion}$ des Torwarts
• Treffpunkt $T(0|y|z)$ des Balles im Tor

Darstellung der Ungleichung als Funktion

• $v$ gibt gerade die Schussgeschwindigkeit an, bei der der Torwart und der Ball gleichzeitig am Treffpunkt ankommen
• es muss also $v<v_{Ball}$ gelten

 $f:[0,7.32]\times [0,2.44]\to ℝ,f(y,z)=\{\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{11^2+(3.66-y{)}^2+z^2}}{max(\frac{\sqrt{(3.46-y{)}^2+(k-0.3-z{)}^2}-\frac{k}{2}+0.2}{v_{Torwart}}+t_{Reaktion};\frac{arccos\frac{(k-0.3-z)\cdot (\frac{k}{2}-0.3)}{\sqrt{(3.46-y{)}^2+(k-0.3-z{)}^2}\cdot (\frac{k}{2}-0.3)}}{\text{ω}}+t_{Reaktion})}& \text{wenn }y\le 3.66\wedge (y-3,46{)}^2+(z-k+0,3{)}^2>(\frac{k}{2})-0.2\\ \frac{\sqrt{11^2+(3.66-y{)}^2+z^2}}{\frac{arccos\frac{(k-0.3-z)\cdot (\frac{k}{2}-0.3)}{\sqrt{(3.46-y{)}^2+(k-0.3-z{)}^2}\cdot (\frac{k}{2}-0.3)}}{\text{ω}}+t_{Reaktion}}& \text{wenn }y\le 3.66\wedge (y-3.46{)}^2+(z-k+0,3{)}^2\le (\frac{k}{2})-0.2\\ \frac{\sqrt{11^2+(3.66-y{)}^2+z^2}}{\frac{arccos\frac{(k-0.3-z{)}^{\cdot }(\frac{k}{2}-0.3)}{\sqrt{(3.86-y{)}^2+(k-0.3-z{)}^2}\cdot (\frac{k}{2}-0.3)}}{\text{ω}}+t_{Reaktion}}& \text{wenn }y>3.66\wedge (y-3,86{)}^2+(z-k+0,3{)}^2\le (\frac{k}{2})-0.2\\ \frac{\sqrt{11^2+(3.66-y{)}^2+z^2}}{max(\frac{\sqrt{(3.86-y{)}^2+(k-0.3-z{)}^2}+\frac{k}{2}-0.2}{v_{Torwart}}+t_{Reaktion};\frac{arccos\frac{(k-0.3-z{)}^{\cdot }(\frac{k}{2}-0.3)}{\sqrt{(3.86-y{)}^2+(k-0.3-z{)}^2}\cdot (\frac{k}{2}-0.3)}}{\text{ω}}+t_{Reaktion})}& \text{sonst}\end{array}$

Darstellung der Funktion mit festgelegten Parametern

• abgesehen vom Treffpunkt des Balles im Tor müssen zur Darstellung der Funktion im Koordinatensystem alle anderen Faktoren bekannt sein
• $k=1.80m$
• $v_{Torwart}=4m/s$
• $\text{ω}=10s^{-1}$
• $t_{Reaktion}=0.2s$

Darstellung der Funktion mit festgelegten Parametern

Erstellung einer Heatmap für die nötige Schussgeschwindigkeit

Beispiel 1: hohe Geschwindigkeiten nötig

• $k=2.20m$
• $v_{Torwart}=10m/s$
• $\text{ω}=20s^{-1}$
• $t_{Reaktion}=0.01s$

Beispiel 2: geringe Geschwindigkeiten nötig

• $k=1.50m$
• $v_{Torwart}=2m/s$
• $\text{ω}=5s^{-1}$
• $t_{Reaktion}=0.4s$

Auswertung

• Ziel des dritten Zyklus: weitere Faktoren einbauen, die im realen Vorgang von Bedeutung sind und in Zyklus 2 nicht berücksichtigt wurden
• Dabei sollten die Körpergröße und die Bewegung des Torwarts weiter analysiert werden
• Die beiden Graphen in Zyklus 3 weisen eine Ähnlichkeit auf
• Im Bereich mittleren Bereich ist die zu überschreitende Schussgeschwindigkeit höher als in den Ecken
• Außerdem ist erneut eine Symmetrie bezüglich der Mitte des Tors erkennbar

Auswirkung der Parameter auf den Graphen

• Durch die Beispiele ist auch erkennbar, wie sich die Parameter des Torwarts auf den Graphen auswirken
• In Beispiel 1 wurden die Werte so gewählt, dass sehr hohe Geschwindigkeiten benötigt werden (teilweise 100m/s)
• In Beispiel 2 wurden Werte eingesetzt, die zu geringen Geschwindigkeiten führen (in den Ecken nur 6 m/s)

Aussagen über die Auswirkung der Parameter auf den Graphen

Die zu überschreitende Geschwindigkeit wächst mit:

• Größe des Torwarts
• Bewegungsgeschwindigkeit des Torwarts
• Winkelgeschwindigkeit der Arme des Torwarts
• möglichst geringer Reaktionszeit des Torwarts

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