Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/TNT-Kriterium für Gaugefunktionale

Einführung

Sei $(A,{𝒯}_A)$ wird ein topologischer Nullteiler mengentheoretisch über das System der offenen Mengen ${𝒯}_A$ definiert. Da eine topologische Algebra nicht notwendig kommutativ ist, musste man über topologischer Eigenschaften rechtseitigen bzw. linkseitige topologischen Nullteiler über Mengen beschreiben. Ein Kriterium, dass die Eigenschaften $z\in 𝒯𝒩𝒯(A)$ bzw. $z\notin 𝒯𝒩𝒯(A)$ über Gaugefunktionale, Halbnormen, Quasinormen, $p$-Normen, ... definert ist das Ziel eine Kriteriums zur Charakterisierung der Eigenschaft einer topologischen Nullteilers über Gaugefunktionale

Definition: Rechtsseitiger topologische Nullteiler

Man nennt $z\in A$ einen rechtsseitigen topologischen Nullteiler in $A$ (Bezeichnung: $z\in {𝒯𝒩𝒯}_r(A)$), falls es eine Nullumgebung $U_0\in 𝔘(0_A)$ gibt, für die gilt:

$$0_A\in \overline{z\cdot (A\setminus U_0)}$$

Definition: Linksseitiger topologische Nullteiler

$z\in A$ heißt linksseitger topologischer Nullteiler in $A$ (Bezeichnung: $z\in {𝒯𝒩𝒯}_l(A)$), falls ein $U_0\in 𝔘(0_A)$ existiert, der folgende Eigenschaft erfüllt:

$$0_A\in \overline{(A\setminus U_0)\cdot z}$$

Definition: topologische Nullteiler

$z\in A$ ist ein topologischer Nullteiler (Bezeichnung: $z\in 𝒯𝒩𝒯(A)$), falls $z$ ein rechtseitiger oder ein linkseitiger topologischer Nullteiler ist.

Lemma - TNT-Kriterium für Gaugefunktionale

Sei $(A,{\Vert \cdot \Vert }_{𝒜})\in 𝒦$, dann ist $z\in {𝒯𝒩𝒯}_r(A)$ (bzw. $z\in {𝒯𝒩𝒯}_l(A)$) genau dann, wenn es ein $\alpha \in 𝒜$ gibt mit, so dass für alle $\beta \in 𝒜$ gilt:

$$\underset{{\Vert x\Vert }_{\alpha }=1}{\inf }{\Vert z\cdot x\Vert }_{\beta }=0\text{ mit }z\in {𝒯𝒩𝒯}_r(A)(\ast )$$

bzw.

$$\underset{{\Vert x\Vert }_{\alpha }=1}{\inf }{\Vert x\cdot z\Vert }_{\beta }=0\text{ mit }z\in {𝒯𝒩𝒯}_l(A)$$

Beweis

Sei $z\in {𝒯𝒩𝒯}_r(A)$ und $U_0\in 𝔘(0_A)$ wie in der obigen Definition gewählt. Da das System ${\Vert \cdot \Vert }_{𝒜}$ die Topologie auf $A$ erzeugt, gibt es ein $\alpha \in 𝒜$ und ein $\epsilon >0$, so dass die $\epsilon$-Kugel $U_{\alpha }:={\mathrm{B}}_{\epsilon }^{\alpha }(0_A)$ des $𝒦$-Funktionals ${\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }$ eine Teilmenge von $U_0$ ist.

Mengenbeziehungen

Dann gilt:

$\begin{array}{ccc}{U}_{\alpha }\subset U_0& ⟹& A\setminus U_0\subset A\setminus U_{\alpha }\\ & ⟹& 0_A\in \overline{z\cdot (A\setminus U_{\alpha })}\\ & ⟹& \underset{{\Vert x\Vert }_{\alpha }\ge \epsilon }{\inf }{\Vert z\cdot x\Vert }_{\beta }=0\text{ für alle }\beta \in 𝒜\\ & ⟹& \underset{{\Vert x\Vert }_{\alpha }\ge 1}{\inf }{\Vert z\cdot x\Vert }_{\beta }=0\text{ für alle }\beta \in 𝒜\\ & ⟹& \underset{{\Vert x\Vert }_{\alpha }=1}{\inf }{\Vert z\cdot x\Vert }_{\beta }=0\text{ für alle }\beta \in 𝒜\end{array}$

Umkehrung

Gilt umgekehrt die oben genannte Bedingung $(\ast )$, wählt man $U_{\alpha }:={\mathrm{B}}_1^{\alpha }(0_A)$ als die 1-Kugel um $0_A$ des $𝒦$-Funktionals ${\Vert \cdot \Vert }_{\alpha }$. Wendet man die Bedingung auf $\underset{{\Vert x\Vert }_{\alpha }\ge 1}{\inf }{\Vert z\cdot x\Vert }_{\beta }=0\text{ für alle }\beta \in 𝒜$ an, folgt aus ${\Vert x\Vert }_{\alpha }\ge 1$ auch $x\notin U_{\alpha }$ bzw. $x\in A\setminus U_{\alpha }$ und man erhält $0_A\in \overline{z\cdot (A\setminus U_{\alpha })}$. $◻$

Bemerkung: Übertragen auf rechtsseitige TNT

Insbesondere gilt für alle $\gamma \ge \alpha$ die Teilmengenbeziehung ${\mathrm{B}}_1^{\gamma }(0_A)\subset {\mathrm{B}}_1^{\alpha }(0_A)$ und damit auch

$$\underset{{\Vert x\Vert }_{\gamma }=1}{\inf }{\Vert z\cdot x\Vert }_{\beta }=0\text{ für alle }\beta \in 𝒜.$$

Für $z\in {𝒯𝒩𝒯}_l(A)$ bzw. $z\in {𝒯𝒩𝒯}_r(A)$ kann man die Aussage von dem Lemma analog übertragen.

Negation des TNT-Kriteriums

Sei $(A,{\Vert \cdot \Vert }_{𝒜})\in 𝒦$, dann kann man $z\notin {𝒯𝒩𝒯}_r(A)$ (bzw. $z\notin {𝒯𝒩𝒯}_l(A)$) über Gaugefunktionale äquivalent beschreiben:

${\mathrm{\forall }}_{\alpha \in 𝒜}{\mathrm{\exists }}_{\beta \in 𝒜,{\epsilon }_{\alpha }>0}:\underset{{\Vert x\Vert }_{\alpha }=1}{\inf }{\Vert z\cdot x\Vert }_{\beta }={\epsilon }_{\alpha }>0\text{ mit }z\notin {𝒯𝒩𝒯}_r(A)(\ast )$

bzw.

${\mathrm{\forall }}_{\alpha \in 𝒜}{\mathrm{\exists }}_{\beta \in 𝒜,{\epsilon }_{\alpha }>0}:\underset{{\Vert x\Vert }_{\alpha }=1}{\inf }{\Vert x\cdot z\Vert }_{\beta }={\epsilon }_{\alpha }>0\text{ mit }z\in {𝒯𝒩𝒯}_l(A)$

Lemma: Negation des TNT-Kriteriums

Sei $(A,{\Vert \cdot \Vert }_{𝒜})\in 𝒦$, dann kann man $z\notin {𝒯𝒩𝒯}_r(A)$ (bzw. $z\notin {𝒯𝒩𝒯}_l(A)$) über Gaugefunktionale äquivalent beschreiben:

${\mathrm{\forall }}_{\alpha \in 𝒜}{\mathrm{\exists }}_{\gamma \in 𝒜,D_{\alpha }>0}:{\Vert x\Vert }_{\alpha }\le D_{\alpha }\cdot {\Vert z\cdot x\Vert }_{\gamma }\text{ mit }z\notin {𝒯𝒩𝒯}_r(A)$

bzw.

${\mathrm{\forall }}_{\alpha \in 𝒜}{\mathrm{\exists }}_{\beta \in 𝒜,D_{\alpha }>0}:{\Vert x\Vert }_{\alpha }\le D_{\alpha }\cdot {\Vert x\cdot z\Vert }_{\gamma }\text{ mit }z\in {𝒯𝒩𝒯}_l(A)$

Beweisaufgabe für Studierende

• Beweisen Sie das Lemma zur Negation des TNT-Kriteriums für Gaugefunktionale über Verwendung des Topologisierungslemmas für Algebren und der Stetigkeit der Multiplikation.
• Wie verändert sich die Beweisführung, wenn die Topologie über $p$-Gaugefunktionale (z.B. submultiplikative $p$-Halbnormen) erzeugt wird.

Siehe auch

• Topologische Nullteiler
• Gaugefunktional
• Topologisierungslemma für Algebren
• B-Regularität
• P-Regularität
• MLC-Regularität
• MPC-Regularität

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