Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Quasinormierbarkeit

Einleitung

Der Satz zur Quasinormierbarkeit von topologischen Vektorräumen $(V,𝒯)$ stellt einen Zusammenhang zwischen Quasinormierbarkeit und der lokalen Beschränktheit der Topologie $𝒯$. Lokale Beschränktheit bedeutet dabei, dass eine "beschränkte" Nullumgebung $U_o$ exisitiert. Insgesamt ist Satz über Quasinormierbarkeit zusammen mit dem Satz zur p-Normierbarkeit einer der beiden notwendigen Teilaussagen für den Beweis des Korrespondenzsatzes für p-Normen Quasinormen (siehe Köthe).

Korrespondenzsatz p-Normen - Quasinormen - lokale Beschränktheit

Jeder topologische Vektorraum ist genau dann $p$-normierbar, wenn dieser lokal beschränkt ist. Ebenso ist jeder topologische Vektorraum ist genau dann quasinormierbar, wenn die Topologie lokal beschränkt. Damit erhält man die Äquivalenzaussage des Korrespondenzsatzes:

$\begin{array}{ccc}(A,{𝒯}_A)\text{ quasinormierbar }& \iff & (A,{𝒯}_A)\text{ lokalbeschränkt }\\ & \iff & (A,{𝒯}_A)\text{ p-normierbar }\end{array}$.

Satz: Quasinormierbarkeit

Die Topologie eines topologischen Vektorraums $V$ kann genau dann durch eine Quasinorm gegeben werden, wenn $V$ lokalbeschränkt ist.

Beweis

Der Beweis der Äquivalenz gliedert sich in zwei Beweisteile der folgenden Implikationen

• (Beweisteil 1) Gegeben ist ein lokalbeschränkter topologischer Raum $(V,𝒯)$ und man zeigt, dass die Topologie $𝒯$ durch eine Quasinorm $\Vert \cdot \Vert$ topologisiert werden kann.
• (Beweisteil 2) Gegeben ist ein quasinormierbarer topologischer Raum $(V,𝒯)$ mit Quasinorm $\Vert \cdot \Vert$ und $V$ und man zeigt, dass die Topologie $𝒯$ lokalbeschränkt ist.

Beweisteil 1:

"'$⟸$"': Sei $(V,𝒯)$ ein lokalbeschränkter topologischer Raum und $\Vert \cdot \Vert :=p_U$ das Minkowski-Funktional einer kreisförmigen und beschränkten Nullumgebung $U$, die in einem lokalbeschränkten Raum existiert. Nun sind die Eigenschaften einer Quasinorm für das definierte Minkowski-Funktional zu zeigen.

Beweisschritt 1.1 - Nullumgebungsbasis

$\{\lambda \cdot U{\}}_{\lambda >0}$ ist eine Nullumgebungsbasis der Topologie. Die Nichtnegativität der Quasinorm und die Homogenität ergeben sich aus der Definition des Minkowski-Funktionals (siehe Topologisierungslemma für Algebren), wobei die Homogenität in $(Q2)$ ist eine unmittelbare Folgerung aus der Kreisförmigkeit von $U$ ist.

Beweisschritt 1.2 - Hausdorff-Eigenschaft

Die Eigenschaft $(Q1)$ $x=0_V⟺\Vert x\Vert =0$ einer Quasinorm ergibt sich aus der Hausdorff-Eigenschaft von $V$.

Beweisschritt 1.3 - Stetigkeit der Addition

Mit der Stetigkeit der Addition kann man für die gegebene beschränkte Nullumgebung $U$ eine Nullumgebung $U_o\in {𝔘}_{𝒯}(0_V)$ finden mit

$U_o+U_o\subseteq U$ (siehe Topologisierungslemma für Algebren).

Beweisschritt 1.4 - Stetigkeit der Addition

Da $\{\lambda \cdot U{\}}_{\lambda >0}$ eine Nullumgebungsbasis der Topologie ist, kann man für diese $U_o$ ein ${\lambda }_o>0$ finden, mit ${\lambda }_{o}U\subseteq U_o$. Über Einsetzung in die Mengeninklusion erhält man:

$${\mathrm{\exists }}_{{\lambda }_o>0}:\underset{\subseteq U_o}{\underbrace{{\lambda }_o\cdot U}}+\underset{\subseteq U_o}{\underbrace{{\lambda }_o\cdot U}}\subset U⟹U+U\subset \underset{=:K}{\underbrace{\frac{1}{{\lambda }_o}}}U.$$

Beweisschritt 1.5 - Konkavitätsungleichung

Damit gilt für $\lambda :=\Vert x\Vert +\epsilon$, $\mu :=\Vert y\Vert +\epsilon$ mit $\epsilon >0$ beliebig:

$\begin{array}{ccc}\frac{x}{\lambda },\frac{y}{\mu }\in U& ⟹& \frac{\lambda }{\lambda +\mu }\cdot \frac{x}{\lambda }+\frac{\mu }{\lambda +\mu }\cdot \frac{y}{\mu }=\frac{x+y}{\lambda +\mu }\in U+U\\ & ⟹& x+y\in (\lambda +\mu )\cdot (U+U)\subset (\lambda +\mu )(K\cdot U)\\ & ⟹& \Vert x+y\Vert \le K\cdot (\Vert x\Vert +\Vert y\Vert +2\epsilon )\end{array}$

Da $\epsilon >0$ beliebig gewählt werden kann, folgt die Eigenschaft $(Q3)$ aus der Definition der Quasinorm.

Beweisteil 2:

"'$⟹$"': Nach Voraussetzung wird die Toplogie $𝒯$ nun durch eine Quasinorm $\Vert \cdot \Vert$ erzeugt. Damit bilden die $\epsilon$-Kugeln der Quasinorm

$\{U_{\epsilon }\subset V:U_{\epsilon }:={\mathrm{B}}_{\epsilon }(0_V)\wedge \epsilon >0\}\text{ mit }{\mathrm{B}}_{\epsilon }(0_V):=\{x\in V:\Vert x\Vert <\epsilon \}$

eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen und absorbierenden Mengen.

Beweis 2.1 - Stetigkeit der Skalarmultiplikation

Die Eigenschaft $(Q2)$ aus Definition der Quasinorm liefert die Stetigkeit der Skalarmultiplikation (siehe Topologisierungslemma für Algebren).

Beweis 2.2 - Lokalbeschränkheit

$U_{1/2}$ ist eine beschränkte Nullumgebung, denn es gilt

$\epsilon \cdot U_{1/2}\subset U_{\epsilon }={\mathrm{B}}_{\epsilon }(0_V)=\{x\in V:\Vert x\Vert <\epsilon \}.$

Beweis 2.2 - Hausdorff-Eigenschaft

Aus $(Q1)$ in der Definition der Quasinorm folgt, dass die Topologie Hausdorff'sch ist.

Beweis 2.3 - Stetigkeit der Addition - Konkavitätsungleichung

Mit der Stetigkeitskonstante der Addition $K$ erhält man für $x,y\in U_1$ - also $\Vert x\Vert <1+\epsilon$ und $\Vert y\Vert <1+\epsilon$ für beliebige $\epsilon >0$:

$$\Vert \frac{1}{2K}x+\frac{1}{2K}y\Vert =\frac{1}{2K}\Vert x+y\Vert \le \frac{K}{2K}\underset{<2+2\epsilon }{\underbrace{(\Vert x\Vert +\Vert y\Vert )}}<1+\epsilon$$

Beweis 2.4 - Stetigkeit der Addition - Konkavitätsungleichung

Die obige Ungleichung liefert nun die gesuchte Mengeninklusion für den Nachweis der Stetigkeit der Addition

$$\frac{1}{2K}{U}_1+\frac{1}{2K}{U}_1=U_{\frac{1}{2K}}+U_{\frac{1}{2K}}\subset U_{1+\epsilon }.$$

Da die Inklusion für alle $\epsilon >0$ gilt, erhält man ebenfalls:

$$\frac{1}{2K}{U}_1+\frac{1}{2K}{U}_1=U_{\frac{1}{2K}}+U_{\frac{1}{2K}}\subseteq U_1.$$

Also ist die Addition stetig auf $V$. $◻$

Bemerkung: Lokalbeschränkt - Lokalkonvex

Für lokalbeschränkte Räume wird folgende Verallgemeinerung des Begriffs "`konvex"' von Bedeutung sein (siehe Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen).

Siehe auch

• Korrespondenzsatz p-Halbnormen
• Satz über p-Normierbarkeit lokalbeschränkter Räume
• P-Regularität

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