Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Hauptsatz über K-reguläre Elemente

Hauptsatz über K-reguläre Elemente

Sei $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ eine kommutative topologische Algebra mit einem unital positiven, basiserzeugenden Gaugefunktionalsystem $\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜}$. Ferner sei $(A,\Vert \cdot {\Vert }_{𝒜})$ ein Hausdorff-Raum, dann gelten folgenden Charakterisierungssätze der $𝒦$-regulären Elemente.

Lokalbeschränkte topologische Algebren

Wird die Topologie der $𝒦$-Algebra von einer $p$-Norm oder einer Quasinorm topologisiert, dann ist $z\in A$ genau dann ${𝒫}^{𝓀}$-regulär, wenn $z\notin 𝒯𝒩𝒯(A)$ gilt (also $𝒦={ℬ}_e^k,{𝒫}_e^k$)

Topologische Algebren mit submultiplikativen p-Halbnormen

Wird die Topologie der $ℳ𝒫𝒞$-Algebra von einem submultiplikativen $p$-Halbnormensystem oder einem submultiplikativen Quasihalbnormensystem topologisiert, dann ist $z\in A$ genau dann $ℳ𝒫𝒞$-regulär, wenn $z\notin ℳ𝒯𝒩𝒯(A)$ gilt (also $𝒦={ℳℒ𝒞}_e^k,{ℳ𝒫𝒞}_e^k$)

Lokalkonvexe und pseudokonvexe topologische Algebren

Wird die Topologie der $𝒫𝒞$-Algebra von einem $p$-Halbnormensystem, dann ist $z\in A$ genau dann ${𝒫𝒞}^k$-regulär, wenn $z\in A$ das $𝒫𝒞$-Regularitätskriterium erfüllt (also $𝒦={ℒ𝒞}_e^k,{𝒫𝒞}_e^k$ - siehe auch LC-Regularitätskriterium)

Topologische Algebren

Wird die $𝒯$-Algebra von einem Gaugefunktionalsystem topologisiert, dann ist $z\in A$ genau dann ${𝒯}^k$-regulär, wenn $z$ das $𝒯$-Regularitätskriterium erfüllt (also $𝒦={𝒯}_e^k$)

Bemerkung

Die Menge der multiplikativen lokalkonvexen topologischen Algebren $ℳℒ𝒞$ ist in der Algebrenklasse in der Klasse der lokalkonvexen topologischen Algebren $ℒ𝒞$ enthalten. Es ist möglich, dass ein Element $z\in A$ zwar $ℳℒ𝒞$-singulär ist (wegen $z\in ℳ𝒯𝒩𝒯(A)$), aber dennoch kann es eine $ℒ𝒞$-Erweiterung von $A$ besitzt, in der $z\in A$ invertierbar ist, weil $z\notin 𝒯𝒦𝒫\mathcal{(}𝒜\mathcal{)}$ gilt. Dies kann dann der Fall sein, wenn $z\in ℳ𝒯𝒩𝒯(A)\cap 𝒯𝒢𝒫(A)$ mit

$𝒯𝒦𝒫(A)\subseteq ℳ𝒯𝒩𝒯(A)\wedge 𝒯𝒦𝒫(A)\cup 𝒯𝒢𝒫(A)=A$

Multiplikative topologische Nullteiler, die dennoch topologisch große Potenzen besitzen, sind also z.B. $ℳℒ𝒞$-singulär aber $ℒ𝒞$-regulär.

Aufgabe für Studierende

Konstruieren Sie in eine multiplikative lokalkonvexe Algebra der Polynome $ℝ[t]$ und wählen Sie Polynome $p\in ℝ[t]$, die kleinen Potenzen besitzen und die keine multiplikative topologische Nullteiler sind.

Siehe auch

• Algebraerweiterung
• Gaugefunktional
• Polynomalgebra
• Normen, Metriken, Topologie
• Neutrales Element
• Vollständigkeit
• Vervollständigung topologischer Vektorräume
• Multiplikative topologische Nullteiler
• Topologische Nullteiler
• Topologisch kleine Potenzen
• Topologisch große Potenzen
• Zelazko Wieslaw

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