Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/topologische Algebra

Definition: Topologischer Vektorraum

Ein topologischer Vektorraum $(V,𝒯)$ über dem Körper $𝕂$ ist ein Vektorraum, der eine Topologie $𝒯$ besitzt, mit der die Multiplikation mit Skalaren und die Addition stetige Abbildungen sind.

$\begin{array}{cccc}𝕂\times V& ⟶& V(\lambda ,v)⟼\lambda \cdot v& \text{ (skalare Multiplikation) }\\ V\times V& ⟶& V(v,w)⟼v+w& \text{ (Addition) }\end{array}$

Im folgenden soll für alle topologischen Vektorräume die Hausdorffeigenschaft vorausgesetzt sein.

Definitionen in topologischen Räumen

Sei $(A,𝒯)$ ein topologischer Raum mit einem System von offenen Mengen $𝒯$ und $a\in A$, dann bezeichnet

• ${𝒰}_A(a)$ die Menge aller Umgebungen vom Punkt $a$,
• $\stackrel{\circ }{{𝒰}_A}(a)$ die Menge aller offenen Umgebungen vom Punkt $a$,
• $\overline{{𝒰}_A}(a)$ die Menge aller abgeschlossenen Umgebungen vom Punkt $a\in A$.

Bemerkung

Falls keine Missverständnisse über den zugrundeliegenden topologischen Raum auftreten können, wird der Index $A$ in dieser Bezeichnung nicht mit angegeben.

Definition: offener Kern

Sei $A$ ein topologischer Vektorraum und $M\subset A$, dann ist der offene Kern $\stackrel{\circ }{M}$ von $M$ die Vereinigung aller offenen Teilmengen von $M$.

Definition: abgeschlossene Hülle

Die abgeschlossene Hülle $\bar{M}$ von $M$ ist der Schnitt über alle abgeschlossenen Teilmengen von $T$, die $M$ enthalten.

Definition: Topologischer Rand

Der topologische Rand $\partial M$ von $M$ ist wie folgt definiert: $\partial M:=\bar{M}\mathrm{\setminus }\stackrel{\circ }{M}$

Definition: Netze

Sei $(A,𝒯)$ ein topologischer Raum und $I$ eine Indexmenge (mit einer partiellen Ordnung) und $M\subset A$ eine nicht leere Teilmenge von $A$, dann bezeichnet $M^I$ die Menge aller mit $I$ indizierten Familien in $M$ werden als Netze bezeichnet:

$M^I:=\{(m_i{)}_{i\in I}:i\in M\text{ für alle }i\in I\}$

Definition: Endliche Folgen in Vektorräumen

Sei $V$ ein Vektorraum, dann bezeichnet $c_{oo}(V)$ die Menge aller endlichen Folgen mit Elementen in $V$:

$c_{oo}(V):=\{(v_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}\in V^{{\mathbb{N}}_0}:{\mathrm{\exists }}_{N\in {\mathbb{N}}_0}{\mathrm{\forall }}_{n\ge N}:v_n=0\}.$

Folgenraum als Vektorräume

Sei $V$ ein Vektorraum über dem Körper $𝕂:=\mathbb{Q},ℝ,ℂ$ und $c_{oo}(V)$ die Menge aller endlichen Folgen in $V$. Mit $x,y\in c_{oo}(V)$, $x=(x_i{)}_{i\in {\mathbb{N}}_0}$, $y=(y_i{)}_{i\in {\mathbb{N}}_0}$ und $\lambda \in 𝕂$ kann man folgende Verknüfungen definieren:

• $\lambda \cdot x:=\lambda \cdot (x_i{)}_{i\in {\mathbb{N}}_0}=(\lambda \cdot x_i{)}_{i\in {\mathbb{N}}_0}$
• $x+y:=(x_i{)}_{i\in {\mathbb{N}}_0}+(y_i{)}_{i\in {\mathbb{N}}_0}=(x_i+y_i{)}_{i\in {\mathbb{N}}_0}$
• $x\cdot y:=(x_i{)}_{i\in {\mathbb{N}}_0}\cdot (y_i{)}_{i\in {\mathbb{N}}_0}=(x_i\cdot y_i{)}_{i\in {\mathbb{N}}_0}$

Aufgabe

• Zeigen Sie, dass $c_{oo}(V)$ mit den obigen Verknüpfungen einen Algebra ist.
• Definiere die folgende Abbildung $\Vert x{\Vert }_{sup}:=\underset{i\in {\mathbb{N}}_0}{\sup }|x_i|$ auf $c_{oo}(V)$. Zeigen Sie, dass $\Vert \cdot {\Vert }_{sup}:=c_{oo}(V)\to {ℝ}_o^{+}$ eine Norm auf $c_{oo}(V)$ ist.
• Zeigen Sie, dass $c_{oo}(V)$ nicht vollständig ist. Konstruieren Sie dazu eine Cauchy-Folge, die nicht konvergiert!
• Zeigen Sie, dass die Multiplikation in $(c_{oo}(V),\Vert \cdot {\Vert }_{sup})$ eine stetige Abbildung ist, indem Sie nachweisen, dass die Ungleichung $\Vert x\cdot y{\Vert }_{sup}\le \Vert x{\Vert }_{sup}\cdot \Vert y{\Vert }_{sup}$ in der topologische Algebra für alle $x,y\in c_{oo}(V)$ erfüllt ist.

Definition: Topologische Algebra

Eine topologische Algebra $A$ über dem Körper $𝕂$ ist ein topologischer Vektorraum über $𝕂$, in dem eine stetige Multiplikation :$$\odot :A\times A⟶A\text{ mit }(x,y)\mapsto x\odot y$$.

Bemerkung: Multiplikation - Multiplikation mit Skalaren

In einer topologischen Algebra muss man die Multiplikation mit Skalaren

$\cdot :𝕂\times A⟶A\text{ mit }(\lambda ,x)\mapsto \lambda \cdot x$

von der Multiplikation $\odot$ als innere Verknüpfung unterscheiden.

$\odot :A\times A⟶A\text{ mit }(x,y)\mapsto x\odot y$

Im weiteren Verlauf werden diese beiden Verknüfungen nicht mehr durch unterschiedlich Multiplikationssymbole unterschieden, da in der Regel klar aus dem Kontext zu erkennen ist, welche Verknüpfung gemeint ist.

Siehe auch

• Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume
• Netze (Mathematik)
• Normen, Metriken, Topologie