Quelltext der Seite Projekt:Mathematik ist überall/Aktuelles/Peirce-Zahlen

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[[Bild:Charles Sanders Peirce theb3558.jpg|right|150px|thumb|[[w:Charles S. Peirce|Charles Sanders Peirce]]]]
Die '''Peirce-Zahlen''' (nach [[w:Charles S. Peirce|Charles S. Peirce]]; auch ''Peirce-[[w:Folge (Mathematik)|Folge]]'' oder - ''mit der nötigen Vorsicht'' - ''Peirce-[[w:Kontinuum (Mathematik)|Kontinuum]]'') bilden eine [[w:Zahlenmenge|Zahlenmenge]]. 

Der Begriff des Kontinuums ist in der modernen Mathematik umstritten und auch hier wird auf diese Problematik eingegangen. Die ''Interpretation'' als Folge darf zumindest als ''etabliert'' angesehen werden, sie ist dann aber dem allgemeinen Sprachgebrauch geschuldet. Folgen werden oft vereinfachend als ''[[w:Ordnungsrelation|geordnete Menge]]'' von [[w:Zahl|Zahlen]] angesehen.

Die Peirce-Zahlen können als eine ''präzisere'' Fassung der [[w:Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] aufgefasst werden. Im Vordergrund stehen hier die ''Werte'' der [[w:Element (Mathematik)|Elemente]] und erst an zweiter Stelle deren ''Aufbau'' aus [[w:Bruchrechnung|Zähler]] und [[w:Bruchrechnung|Nenner]].

In letzter Zeit rücken die Arbeiten von Peirce wieder in den Focus des allgemeinen Interesses. So gibt es interessante Untersuchungen auf den Gebieten der [[w:Zahlentheorie|Zahlentheorie]]. Auch die nichtlineare Struktur von "''geradlinigen'' Punktmengen" (Linien, nicht unbedingt euklidische Geraden) erscheint durch die Peirce-Zahlen in einem neuen Licht.
==Geschichtliches==
[[Image:Matematiker georg cantor.jpg|left|150px|thumb|[[w:Georg Cantor|Georg Cantor]]]]
[[w:Charles S. Peirce|Charles Sanders Peirce]] versuchte – inspiriert durch [[w:Georg Cantor|Cantor]] – ein Kontinuum zu erarbeiten. Im Gegensatz zu den Arbeiten Cantors basieren die Arbeiten von Peirce auf einer partikulären Betrachtung der Elementeigenschaften. Sein Ansatz nutzte die rationalen Zahlen als Ausgangspunkt und lautete:

:Für irgendzwei Elemente ''a, b'' existiert ''stets'' ein Element ''c'' mit ''a < c < b''.

Diese Betrachtungssweise von Problemen seitens Peirce ist auch in seinen Arbeiten zur Abdunktion zu erkennen.

[[Bild:PierceTimeLine.svg|right|300px]]
Die Arbeiten von Peirce auf dem Gebiet des Kontinuumgedankens werden in zeitliche Abschnitte eingeordnet, um sein Schaffen mit dem von Cantor besser zu vergleichen
<ref name="Kontinuum und Konstitution der Wirklichkeit">''Kontinuum und Konstitution der Wirklichkeit''. KAPITEL 1, S. xxiv. Deutsche Nationalbibliothek: http://deposit.ddb.de/cgi-bin/dokserv?idn=97204521X</ref>.

Hier werden hauptsächlich die neueren Aspekte der Peirce-Folge betrachtet. Trotzdem ist die Parallelität zu den Arbeiten Cantors sehr wichtig. Die Inhalte und Konsequenzen ''beider'' Sichtweisen führen sehr tief in die Grundlagen der modernen Mathematik.
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===Argumente für ein Kontinuum===
Der von Peirce gezeigte generative Aufbau der Menge <math>\mathbb V</math> (V für Value) hat durchaus Parallelen zum Kontinuum von Cantor.
{| class="prettytable"
! 1. Argument|| 2. Argument|| 3. Argument
|-
| valign="top" width="33%" |Die Abstände zwischen den Elementen werden [[w:Infinitesimalrechnung|''infinitesimal'']] klein (für Peirce noch ''ununterscheidbar'' klein, weil <math>\frac 1 \infty = 0</math> zu seinen Lebzeiten durchaus üblich).
| width="33%" valign="top"|Es ist ein treppenartiger ''Verlauf'' wie bei den Werten der [[w:Cantor-Menge|Cantor-Menge]] vorhanden. Jede Menge, die eine Cantor-Menge enthält ist ein Kontinuum.
| valign="top"|Die Mächtigkeit nach ''n'' Generationen beträgt <math>2^n + 1 \ </math>.
|}
Das dritte ist das stärkste und ''verwirrendste'' Argument ''für'' ein cantorsches Kontinuum. Kurioserweise bezieht dieses Argument seine ''Stärke'' aus [[w:Cantors erstes Diagonalargument|Cantors erstem Diagonalargument]] der ''Abzählbarkeit''.
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===Unterschiede in den Ansätzen===
Peirce war auch Philosoph und dort vor Allem auf dem Gebiet der Logik tätig. Für ihn bestand ''zunächst'' kein Unterschied zwischen seiner Betrachtung und der Tatsache, dass auch Elemente aus <math> \mathbb Q </math> stets die eben beschriebene Eigenschaft haben.

Das änderte sich spätestens mit Cantors Beweis zur Abzählbarkeit der rationalen Zahlen. Hier gibt es für jedes Element unendlich (präzise: ''abzählbar unendlich'') viele mit gleichem Wert. So sind die Werte von

<math>
\frac 1 2 \, , \ \frac 2 4 \,  \, , \ \frac 3 6 \, ...
</math>

alle gleich. Die Elemente der Zahlenmenge <math> \mathbb Q </math> sind aus <math>\Z \times \Z</math> aufgebaut. Cantor bewies mit seinem Zählverfahren auch, dass alle ''abzählbaren'' Mengen stets die Mächtigkeit (Betrag) der natürlichen Zahlen haben.

Cantors Herangehensweise war ''allgemein'', die Menge betreffend, während Peirce die Partikeleigenschaften (Elemente der Menge) zum Ausgangspunkt machte. Die [[w:Abduktion (Wissenschaftstheorie)|abduktive]] Herangehensweise von Peirce wurde dem Anspruch des Kontinuums nach seiner Überzeugung gerecht. Die Abduktion in dieser Form ''kann'' als Erweiterung der [[w:Syllogismus|syllogistischen Logik]] angesehen werden.

Erst die Formulierung der [[w:Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre|''Zermelo-Fraenkel''-Axiomatik]] (ZFC) zeigt, dass Peirce kein Kontinuum ''im Cantorschen Sinne'' präsentierte.

Weil die ZFC aber bis heute nicht als völlig widerspruchsfrei bezeichnet werden kann, rücken die Arbeiten von Peirce wieder in den Vordergrund. Hier sei nur das Gebiet der [[w:Nichtstandardanalysis| Nichtstandardanalysis]] angeführt.

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===Erste Detaillierung===
Die rein partikuläre Betrachtung von Peirce bedurfte nun einer Umformulierung, denn die einfache Anwendung der [[w:Trichotomie|Trichotomie]] ganzer Zahlen

<math>
a,b \in \Z \Rightarrow \left(\left( a <b \right) \lor \left( a >b \right) \right)
</math>

ist in <math>\mathbb Q</math> nicht mehr gegeben.

Weil Peirce von den Elementen und ihren Eigenschaften auf die Menge (abduktiv) schließen wollte und das (für ihn) entscheidende Kriterium der Wert war, präsentierte Peirce eine abgewandelte Version. Außer dem ''Enthaltensein'' in <math> \mathbb Q </math> muss auch [[w:Teilerfremdheit|Teilerfremdheit]] von Zähler und Nenner gegeben sein.

<math>
\mathbb V = \left\{ q=\frac z n : \left(n, z \in \Z\right) \land ggT(n, z) = 1 \right\}
</math>

Mit diesen Voraussetzungen ist die ''Unterscheidbarkeit'' der Elemente über ihre Werte gewährleistet. Auf die ''Feinheit'', die 0 (Null) im Nenner auszuschließen verzichtete Peirce, denn zur Zeit seines Wirkens war es durchaus üblich eine Division durch 0 (Null) mit <math>\infty</math> als ''gültig'' anzusehen.

Damit sind auch die ''Werte'' aller Elemente unterscheidbar. Peirce konnte die Erschließung also weiter an den Eigenschaften orientieren, ohne auf seine anfängliche Forderung zu verzichten.
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===Erzeugung der Elemente===
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[[Bild:Cauchy_Augustin_Louis_dibner_coll_SIL14-C2-03a.jpg|left|150px|thumb|Augustin Louis Cauchy]]
Peirce nutzte eine besondere Form der Addition, um die Elemente der Menge <math> \mathbb V </math> zu erzeugen, die nach [[w:John Farey|John Farey]] benannt ist. Ob Peirce die Addition aus der einzigen Veröffentlichung ''Fareys'' im [[w:Philosophical Magazine|Philosophical Magazine]] von 1816 zu diesem Thema entnahm darf bezweifelt werden, zumal Farey in seiner Veröffentlichung keinen Beweis für seine Behauptung lieferte.

[[w:Augustin Louis Cauchy|Cauchy]] stieß auf Fareys Behauptung und erbrachte den fehlenden Beweis (''Exercices de mathématiques, I, 114-116)''). Offensichtlich wurde dem Beispiel Cauchys gefolgt, und die Entdeckung wurde allgemein Farey zugeschrieben.

Die erforderlichen Eigenschaften der Farey-Addition ergeben sich auch aus den Werken von [[w:Diophant von Alexandrien|''Diophantos von Alexandrien'']]. So gilt für jede Addition teilerfremder Zahlen

<math>
(ggT(a,b)=1) \land (a+b=c) \Rightarrow \left( ggT(a,c)=ggT(b,c)=1\right)
</math>

Peirce formulierte folgenden Ansatz, der analog zur [[w:Farey-Reihe|Farey-Folge]] ist, jedoch ''ohne'' die dort vorhandene Einschränkung, dass der maximale Nenner die aktuelle Generation (in ''Farey-Folgen'' oft auch ''Ordnung'' genannt) nicht überschreiten darf.

<math>
\begin{matrix}
0: & \frac 0 1 \ \ \frac 1 0 \\
1: & \frac 0 1 \ \ \frac {\color{Red} 1} {\color{Red} 1} \ \ \frac 1 0 \\
2: & \frac 0 1 \ \ \frac {\color{Red}1} {\color{Red}2} \ \ \frac 1 1 \ \ \frac {\color{Red}2} {\color{Red}1} \ \ \frac 1 0
\end{matrix}
</math>
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Es zeigt sich, dass in jeder weiteren Generation die neuen (''roten'') Elemente aus der Addition von Zähler und Nenner der unmittelbar benachbarten Elemente gebildet werden. Die Übereinstimmung mit der Farey-Folge ist bis zur 3ten Generation gegeben. Ab der 4ten Generation gilt für die Farey-Folge die Einschränkung, dass der Nenner <math> n_e \ </math> irgendeines Elements die  Generationsnummer <math> N \ </math> nicht übersteigen darf.

Um im Kontext zum Cantorschen Kontinuum zu bleiben, werden die Peirce-Zahlen ab jetzt ''nur'' im Intervall [0 ...1] betrachtet. Das ist ohne Probleme möglich, weil das Element <math>\frac 1 1</math> ein sog. ''Symmetrieelement'' ist. Es handelt sich dabei um ''eine'' Eigenschaft der Peirce-Zahlen bzw. der Peirce-Folge. Für Elemente mit gleichem Abstand von diesem ''zentralen'' Element gilt stets folgende Beziehung:

Sei <math>e_l \ </math> das linksseitige und <math>e_r \ </math> das rechtsseitige Element, dann gilt:

<math>
e_l = \frac 1 e_r
</math>

Damit kann die Vorschrift zur Erzeugung schon etwas reduziert werden. Statt des ''rechtsseitigen'' Elements <math> \frac 1 0</math> genügt nun das Element <math> \frac 1 1</math>. Die Vorschrift für die einzelnen Generationen bleibt erhalten.

Auf eine Erweiterung des Intervalls wird bei Bedarf jeweils ''ausdrücklich'' hingewiesen.
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{{/Umformulierung der Farey-Addition}}
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{{/Eigenschaften der Peirce-Zahlen}}
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{{/Bezüge zur Zahlentheorie}}
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{{/Elemente als Kettenbrüche}}
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==Häufige Fehlinterpretationen==
Leider wird die Peirce-Folge oft mit der Farey-Folge verwechselt. So werden Operationen und weiterführende Assoziationen oft einfach als "''fareysch''" attributiert, obwohl nur in den Peirce-Zahlen definiert.
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===Farey-Addition===
Die Farey-Addition ist in ihrer ''einfachen'' Verwendung

<math>
\frac {z^{(g)}_i} {n^{(g)}_i} \oplus \frac {z^{(g)}_{i+1}} {n^{(g)}_{i+1}}=
\frac {z^{(g)}_i+z^{(g)}_{i+1}} {n^{(g)}_i+n^{(g)}_{i+1}} \rightarrow \mathbb F^{(g+1)} ; \, \frac {z^{(g)}_i} {n^{(g)}_i} , \, \frac {z^{(g)}_{i+1}} {n^{(g)}_{i+1}} \in \mathbb F^{(g)}
</math>

''nicht'' [[w:Abgeschlossenheit|abgeschlossen]]. Erst die ''zusätzliche'' Berücksichtigung der sog. Ordnung (hier Generation) sichert die Abgeschlossenheit und [[w:Wohldefiniertheit|Wohldefiniertheit]].
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===Ford-Kreise===
[[Bild:Ford circles.png|right|150px|thumb|Ford-Kreise der Farey-Reihe fünfter Ordnung]]
Leider gibt es auch fehlerhafte Verwendungen des Begriffs "Peirce-Folge". So ist die Erzeugung von [[w:Ford-Kreis|Ford-Kreisen]] ''nur'' mit Elementen der Farey-Folge möglich. Bei der Peirce-Folge ergeben sich wegen der nicht vorhandenen Beschränkung des maximalen Nenners auf die aktuelle Generation falsche Radien. Die Kreise aus der Peirce-Folge würden sich schneiden.
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==Siehe auch==

[[w:Farey-Reihe|Farey-Folge]]

==Einzelnachweise==

<references/>

==Literatur==


{| class="prettytable"
|-class="hintergrundfarbe5"
!Autor||Titel||Verlag||Jahr||ISBN
|-
|Deiser||Einführung in die Mengenlehre||Springer||2002||ISBN=3-540-42948-4
|-
|Aigner, Ziegler||Das Buch der Beweise||Springer||&nbsp;||3-540-40185-7
|-
|Ebbinghaus, Flum, Thomas||Einführung in die Mathematische Logik||Spektrum||2007||978-3-8274-1691-9
|-
|Gardner||Mathematischer Karneval||Ullstein||1993||&nbsp;
|-
|Basieux||Die Architektur der Mathematik||Rowohlt||2000||3-499-61119-8
|-
|Schark||Konstanten in der Mathematik - variabel betrachtet||Harri Deutsch||2007||3-8171-1231-9
|}

==Quellen==

http://plato.stanford.edu/entries/peirce/

http://www.peirce.org/