Quelltext der Seite Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Räuber-Beute-Modelle/Implementation - Sek II

==Implementation Sek II==
===Auswahl der Software===
* Tabellenkalkulation: Berechnung der Regressionsgeraden
* Geogebra: Darstellung der Regression(sgeraden), Darstellung der logistischen Wachstumsfunktionen

===Anwendung Logistisches Wachstum===
===Hintergrund===
* durch Lösen der Differentialgleichung <math>f'(t)=k \cdot f(t) \cdot (S - f(t)) </math> ergibt sich für das logistische Wachstum
* <math>f(t) = {f(0) \cdot S \over f(0) + (S-f(0))\cdot e^{-Skt} }\qquad</math>

====Modellierung durch zwei Werte====

=====Borkenkäfer=====
* Wachstumskonstante k berechnen:
* Für die Borkenkäfer gilt:

* <math>S_b = ({65520000\cdot 200\over 4}) = 3276000000</math>, da 200 Borkenkäfer, um sich weiter vermehren zu können, 4 Fichten benötigen

* <math>b(0)= 102080 </math>

* <math>b(1)=204160</math>

* Mit der Wachstumsformel bei logistischem Wachstum <math>f(t) = {f(0) \cdot S \over f(0) + (S-f(0))\cdot e^{-Skt}}\,</math>

====ergibt sich durch die Modellierung durch zwei Werte====

<math>b(1) = {b(0) \cdot S_b \over b(0) + (S_b-b(0))\cdot e^{-S_bk\cdot 1}}\,</math>
* ⇒ <math> 204160 = {102080 \cdot 3276000000 \over 102080+ (3276000000 - 102080) \cdot e^{-3276000000 \cdot k}}\,</math>
* durch Umformungen erhalten wir:

* ⇒ <math> k \approx 2,11593\cdot10^{-10}</math> 

* <math>b(t) = {102080 \cdot 3276000000 \over 102080 + (3276000000-102080)\cdot e^{-3276000000\cdot 2,11593\cdot10^{-10} \cdot t}}</math>

=====Fichten=====

* <math> F = 65520000 </math>
 
* Es ergibt sich in Abhängigkeit zur Funktion der Borkenkäfer also folgende Funktionsvorschrift:

* <big> <math> s(t)= {b(t) \over 200}</math>

* <math> f(t)= 65520000-s(t)</math>

* <math>f(t) = {{65520000} - {{102080 \cdot 3276000000 \over 102080 + (3276000000-102080)\cdot e^{-3276000000\cdot 2,11593\cdot10^{-10} \cdot t}}\over 200}}</math></big>

* Obere Schranke für die Anzahl geschädigter Fichten von <math> S_s=16380000= {S_b \over 200}</math>, da das der Anzahl der Fichten entspricht, die Borkenkäfer töten, wenn sie ihre Sättigungsgrenze erreichen

* Untere Schranke der überlebenden Fichten <math> S_f=65520000-16380000=49140000 </math>

====Modellierung durch mehrere Werte====

* <math>f(t) = {f(0) \cdot S \over f(0) + (S-f(0))\cdot e^{-Skt} }\qquad</math> | Kehrwert bilden

* ⇒ <math>{1 \over f(t)} = {f(0) + (S-f(0))\cdot e^{-Skt} \over f(0) \cdot S }\qquad</math> 
* durch Umformungen erhalten wir:
* ⇒ <math>ln({1 \over f(t)}-{1 \over S }) = ln({(S-f(0)) \over f(0) \cdot S }) - S \cdot k \cdot t\qquad</math> 

→ Geradengleichung <math>y = m \cdot x + c </math> 

* mit <math>y = ln({1 \over f(t)}-{1 \over S })\, ; m = -S \cdot k\, ; c = ln({(S-f(0)) \over f(0) \cdot S }) </math>

=====Borkenkäfer=====

Da S_b = 3276000000 bekannt ist und für Bestimmung des Parameters k die Werte des exponentiellen Wachstums verwendet werden sollen, ergeben sich folgende Daten: 
[[Datei:Anzahl_Borkenkäfer_log.Wachstum.png|mini|links|500x500px | Abbildung: Anzahl Borkenkäfer]]

*Anmerkung: Nur Werte bis zum Jahr 14, da im Jahr 15 b(t)>S_b damit der Wert, von dem ln berechnet werden soll negativ

====Lineare Regression====
* <math>y = -0,72 \cdot t -11,42 </math> 
* Mit <math> m = -S \cdot k  </math> ⇒  <math> k = -{m \over S }</math> ergibt sich  <math> k \approx 2,20 \cdot 10^{-10} </math>

* Durch weitere Umformungen ergibt sich ein neues, der Ausgleichsgerade angepasstes, <math>b(0)</math> mit 
* <math> b(0) = {S_b \over (1+S_b \cdot e^c)} \approx 91123,60 </math> 
* und damit die Funktionsgleichung:
* <math> b(t)  = {b(0) \cdot S_b \over b(0) + (S_b-b(0))\cdot e^{-S_bkt} } =</math>
* <math>{91123,60 \cdot 3276000000 \over 91123,60 + (3276000000-91123,60)\cdot e^{-3276000000 
\cdot (2,20 \cdot 10^{-10}) \cdot t} }</math>

====Gerade zu lineare Regression====

* Ausgleichsgerade: <math>y = -0,72 \cdot t -11,42 </math> 

[[Datei:Bildschirmfoto 2022-01-14 um 11.54.03.png|mini|links|300x300px| Abbildung: Lineare Regression]]










































=====Fichten=====

<math>f(t) = {{65520000} - {{91123,60 \cdot 3276000000 \over 91123,60 + (3276000000-91123,60)\cdot e^{-3276000000\cdot 2,20\cdot10^{-10} \cdot t}}\over 200}}</math>

===Funktionen zur Modellierung===
====Borkenkäfer====
Die Anzahl der Borkenkäfer zum Zeitpunkt t in Abhängigkeit dieser zur Sättigungsgrenze

* Modellierung durch 2 Werte (blau) <math>b_1(t) = {102080 \cdot 3276000000 \over 102080 + (3276000000-102080)\cdot e^{-3276000000\cdot 2,11593\cdot10^{-10} \cdot t}}</math>
 
* Modellierung durch mehrere Werte (grün) <math>b_2(t) ={91123,60 \cdot 3276000000 \over 91123,60 + (3276000000-91123,60)\cdot e^{-3276000000 \cdot 2,20 \cdot 10^{-10} \cdot t} }</math>

[[File:Logistisches Wachstum der Borkenkäferpopulation.jpg||zentriert|mini|400x400px|Abbildung: Beschränktes Wachstum der Borkenkäferpopulation https://www.geogebra.org/classic/m5n7kzvy]]

====Fichten====
Anzahl der Fichten zum Zeitpunkt t in Abhängigkeit dieser zur Borkenkäferanzahl


* Modellierung durch zwei Werte (pink) <math>f_1(t) = {{65520000} - {{102080 \cdot 3276000000 \over 102080 + (3276000000-102080)\cdot e^{-3276000000\cdot 2,11593\cdot10^{-10} \cdot t}}\over 200}}</math>

* Modellierung durch mehrere Werte (orange) <math>f_2(t) = {{65520000} - {{91123,60 \cdot 3276000000 \over 91123,60 + (3276000000-91123,60)\cdot e^{-3276000000\cdot 2,20\cdot10^{-10} \cdot t}}\over 200}}</math>


[[File:Beschränkte Abnahme der Fichtenpopulation.jpg|||zentriert|mini|400x400px|Abbildung: Beschränkte Abnahme der Fichtenpopulation https://www.geogebra.org/classic/m5n7kzvy
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