Quelltext der Seite Kurs:Gewöhnliche Differentialgleichungen/5.0 Steife Probleme und A-Stabilität

Es gibt DGL, derer num. Approximation mithilfe expliziter  Verfahren viel kleinere Schritte benötigt, als man erwartet. Solche Probleme nennt man STEIF.  Ein Beispiel dazu ist folgende Differentialgleichung: 

Beispiel: 

<math> y'=- \lambda (y-exp(-t))- exp(-t) </math>

<math> y(0) = 1</math> 

exakte Lösung <math> y(t)=exp (t)</math>


{| class="wikitable"
|+ Nummerische Ergebnisse: (explizites Verfahren)
! !!Euler-Verfahren 1. Ord !! Verbessertes Eulerverfahren 2. Ord!!klassiches RK 4.Ord
|-
| <math> \lambda =1</math>, Fehler in  <math> t=1 </math>  ||-1,9*10^-3||6,2*10^-6||3*10^-11
|-
| <math> \lambda =1000</math>, Fehler in  <math> t=0,1 </math> ||1,7*10^4 ||4,2*10^10 ||1,6*10^19
|-
|}
 Der Fehler wächst rasant direkt nach dem Start bei dem klassichen RK

 ... (Abbildung)
Grund:  num. Verfahren startet in jedem Schritt (bis auf erstes aus nicht-exaktem Wert <math> \eta = exp(t_i), i=1,2,..,N_k -1</math>

Approximationsfehler verbreitet sich umso schneller, umso größer <math> \lambda </math> ist, denn: 

löse:<math> y'=\lambda (y-exp(-t))-exp(-t),   y(t_i)=\eta_i </math> Startwert nicht exakt <math> i=1,2,...,N_k -1 </math> 
exakte Lösung: 
 ... (handschriftlich)

*Das explizite Einschrittverfahren schießt über das Ziel hinaus, 
*Diskretisierungsfehler schaukeln sich auf 

===5.1 Stabilitätsgebiete ===
Testgleichung: 
(AWA) 
 ...
*Je größer <math> |\lambda|</math>, desto schneller klingt die exakte Lösung       <math> y=exp(\lambda/t)</math>                                                ab (Steigung wächst) 
*Standarte explizite Verfahren versagen wenn die Schrittweite nicht klein genug gewählt war, h --> 0 (steif). 

Beispiel 1: explizites Eulerverfahren:  
Anwedung an (5.1) => numerische Folge: 
 ...


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