Quelltext der Seite Kommutative Ringtheorie/Ideale/Radikal ist Durchschnitt von Primidealen/Aufgabe/Lösung

Sei <math>\mathcal{a}\subset R</math> ein [[Radikal]], dann ist <math>\mathcal{a} = \sqrt{\mathcal{a}}</math>. Beizeichne <math> Nil(\mathcal{a})</math> das Nilradikal, also das Ideal, welches alle nilpotenten Elemente enthält, dann folgt aus [[Kommutative Ringtheorie/Ideale/Radikal und reduzierter Restklassenring/Aufgabe/Lösung]], dass <math>\sqrt{\mathcal{a}} = Nil(R/\mathcal{a})</math>.
Es gilt aber <math> Nil(R/\mathcal{a}) = \bigcap_{\mathcal{p}\subset R/\mathcal{a} \text{ prime}}\mathcal{p} = \bigcap_{\mathcal{a}\subset \mathcal{p}\subset R \text{ prime}}\mathcal{p}</math>. Also ist <math>\mathcal{a} = \bigcap_{\mathcal{a}\subset \mathcal{p}\subset R \text{ prime}}\mathcal{p}</math>.