Quelltext der Seite Determinante und Volumen/Fläche/Parallelogramm/Aufgabe/Lösung

Zunächst wird der Flächeninhalt des äußeren Rechtecks bestimmt:


:<math> U := (x_1 + x_2)(y_1 + y_2) = x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1+x_2y_2</math>


Als nächstes werden die Flächeninhalte der Flächen ''A'' bis ''F'' aufgestellt:


:<math> \begin{align}
& A = F = y_1x_2 \\\\
& B = E = \frac 12 y_1x_1 \\\\

& C = D = \frac 12 y_2x_2
\end{align}
</math>


Die Summe dieser Flächen ist:


:<math> V := A+B+C+D+E+F = 2y_1x_2 + y_1x_1 + y_2x_2 </math>


Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist somit:


:<math> \begin{align}
P := U - V & = x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1+x_2y_2 - 2y_1x_2 - y_1x_1 - y_2x_2\\
& = y_2x_1 - x_2y_1
\end{align}
</math>


Zur Überprüfung des Ergebnisses berechnen wir die Determinante der durch die Vektoren <math> (x_1, y_1) </math> und <math> (x_2, y_2) </math> definierten <math> 2 \times 2 </math>-Matrix:


:<math>
\begin{vmatrix}
 x_1 & x_2\\
 y_1 & y_2
\end{vmatrix} = x_1y_2 - y_1x_2 = P
</math>


Man sieht schnell, dass die Determinante dem Flächeninhalt des Parallelogramms entspricht. 
<math>
\blacksquare
</math>

Das Vorzeichen der Determinante dreht sich um, wenn man die beiden Spaltenvektoren vertauscht.