Determinante und Volumen/Fläche/Parallelogramm/Aufgabe/Lösung

Zunächst wird der Flächeninhalt des äußeren Rechtecks bestimmt:

$U:=(x_1+x_2)(y_1+y_2)=x_1{y}_1+x_1{y}_2+x_2{y}_1+x_2{y}_2$

Als nächstes werden die Flächeninhalte der Flächen A bis F aufgestellt:

$\begin{array}{cc}& A=F=y_1{x}_2\\ \\ & B=E=\frac{1}{2}{y}_1{x}_1\\ \\ & C=D=\frac{1}{2}{y}_2{x}_2\end{array}$

Die Summe dieser Flächen ist:

$V:=A+B+C+D+E+F=2y_1{x}_2+y_1{x}_1+y_2{x}_2$

Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist somit:

$\begin{array}{cc}P:=U-V& =x_1{y}_1+x_1{y}_2+x_2{y}_1+x_2{y}_2-2y_1{x}_2-y_1{x}_1-y_2{x}_2\\ & =y_2{x}_1-x_2{y}_1\end{array}$

Zur Überprüfung des Ergebnisses berechnen wir die Determinante der durch die Vektoren $(x_1,y_1)$ und $(x_2,y_2)$ definierten $2\times 2$-Matrix:

$\left|\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\\ y_1& y_2\end{array}\right|=x_1{y}_2-y_1{x}_2=P$

Man sieht schnell, dass die Determinante dem Flächeninhalt des Parallelogramms entspricht. $◼$

Das Vorzeichen der Determinante dreht sich um, wenn man die beiden Spaltenvektoren vertauscht.