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Elemente als Kettenbrüche

Der "goldene Schnitt" ist der einfachste aller Kettenbrüche $\mathrm{\Psi }=[0,\bar{1}]$. Weil in der Peirce-Folge das Maxelement den "goldenen Schnitt" als Grenzwert hat, haben alle anderen Elemente kürzere Darstellungen.

Die Elemente von fünf Generationen werden in einer Tabelle zusammengefasst. Zur besseren Übersicht erfolgt die Kettenbruchdarstellung senkrecht unter dem jeweiligen Element von oben nach unten.

$\frac{0}{1}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{11}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{4}{11}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{5}{13}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{5}{9}$	$\frac{4}{7}$	$\frac{7}{12}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{8}{13}$	$\frac{5}{8}$	$\frac{7}{11}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{7}{10}$	$\frac{5}{7}$	$\frac{8}{11}$	$\frac{3}{4}$	$\frac{7}{9}$	$\frac{4}{5}$	$\frac{5}{6}$	$\frac{1}{1}$
0	0 6	0 5	0 4 2	0 4	0 3 1 2	0 3 2	0 3 3	0 3	0 2 1 3	0 2 1 2	0 2 1 1 2	0 2 2	0 2 2 2	0 2 3	0 2 4	0 2	0 1 1 4	0 1 1 3	0 1 1 2 2	0 1 1 2	0 1 1 1 1 2	0 1 1 1 2	0 1 1 1 3	0 1 2	0 1 2 3	0 1 2 2	0 1 2 1 2	0 1 3	0 1 3 2	0 1 4	0 1 5	1

Kettenbrüche sind die eigentliche Basis der Peirce-Zahlen. Dabei wird auch eine Besonderheit der Kettenbrüche deutlich. Das Element $\frac{1}{2}$ besitzt zwei unterschiedliche Darstellungen, die den Aufbau weiterer Elemente entscheidend beeinflussen.

Beginnend mit dem Element $q_g=\frac{1}{1}$ gilt

$q_g=\frac{1}{1}=[0;1]=1$

$q_{g+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{1}}=[0;1,1]=\frac{1}{2}$

$q_{g+2}=\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}}=[0;1,1,1]=\frac{2}{3}$

$q_{g+3}=\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}}}=[0;1,1,1,1]=\frac{3}{5}$

Die Entwicklung zur "goldenen Zahl" ist deutlich. Allerdings ist dieser Kettenbruch um eine Stelle länger. Trotzdem ist das Element in beiden Fällen gleich $\frac{3}{5}$. Die Erklärung liegt im Ansatz der Kettenbruchentwicklung.

Die Intervalle der Peirce-Folge sind symmetrisch zu $\frac{1}{2}$. In jeder Generation mit diesem Symmetrieelement, muss eine unterschiedliche Entwicklung des Kettenbruchs angenommen werden.

Das Intervall sei $[0...\frac{1}{2}]$ $[\frac{1}{2}...1]$

Wegen der Symmetrie gilt für alle Elemente auch

$1-q_g^{\left(r\right)}=q_g^{\left(l\right)}$; mit (l) für linksseitig und (r) für rechtsseitig.

Für das Symmetrieelement ergeben sich die beiden unterschiedlichen, aber gleichwertigen Darstellungen:

$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ oder als Kettenbruch: $[0;1,1]=[0;2]$

Die weitere Entwicklung der Peirce-Zahlen setzt voraus, dass

$q_g^{\left(l\right)}=[0;2]$ und

$q_g^{\left(r\right)}=[0;1,1]$.

Diese beiden Kettenbrüche des einen Wertes $\frac{1}{2}$ sind die eigentliche Grundlage der Peirce-Folge. Für die Berechnung der folgenden Generationen wird unterschieden zwischen

$q_{g+1}=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\frac{1}{q_g}+1},& q_g\in [0...\frac{1}{2}]\\ \frac{1}{q_g+1},& q_g\in [\frac{1}{2}...1]\end{array}$

Bei $q_g$ wird jetzt von einem Kettenbruch ausgegangen. Sei $[0;a_1,a_2,a_3,...]$, so ergibt die Anwendung des ersten Falls:

$\frac{1}{\frac{1}{q_g}+1}=[0;(a_1+1),a_2,a_3,...]$

Im zweiten Fall

$\frac{1}{\frac{1}{q_g}+1}=[0;1,a_1{a}_2,a_3,...]$

Zur Unterscheidung der beiden Teilintervalle werden die Elemente mit dem zusätzlichen Index l für links und r für rechts versehen.

$q_{g+1}^{\left(l\right)}=[0;(2+1)]=[0;3]=\frac{1}{3}$

$q_{g+1}^{\left(r\right)}=[0;1,1,1]=[0;1,1,1]=\frac{2}{3}$.

Die Elemente werden als Mengenelemente aufgefasst, womit die Vereinigungsmenge gebildet werden kann. Dabei wird die vorhandene Ordnungsrelation (strenge Monotonie) berücksichtigt. Es ergibt sich:

$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$
0 3	0 2	0 1 1	0 1 1 1

Entsprechend der Fallunterscheidung können die weiteren Elemente ohne die doppelte Verwendung des Symmetrieelements erzeugt werden. Auf das rechte Symmetrieelement wird verzichtet. Zur Berechnung der Folgegeneration müssen die Elemente der aktuellen für beide Teilintervalle herangezogen.

Die linke Seite des Intervalls:

${\frac{1}{3}}_{g+1}^{\left(l\right)}=[0;3\mathit{+}1]=[0;4]=\frac{1}{4}$

${\frac{1}{2}}_{g+1}^{\left(l\right)}=[0;2\mathit{+}1]=[0;3]=\frac{1}{3}$

${\frac{2}{3}}_{g+1}^{\left(l\right)}=[0;1\mathit{+}1,1,1]=[0;2,1,1]=\frac{2}{5}$

Die rechte Seite des Intervalls:

${\frac{1}{3}}_{g+1}^{\left(r\right)}=[0;1,3]=[0;1,3]=\frac{3}{4}$

${\frac{1}{2}}_{g+1}^{\left(r\right)}=[0;1,2]=[0;1,2]=\frac{2}{3}$

${\frac{2}{3}}_{g+1}^{\left(r\right)}=[0;1,1,1,1]=[0;1,1,1,1]=\frac{3}{5}$

Nur wegen der Vollständigkeit wird die Vereinigungsmenge gebildet. Dabei ist der Verzicht auf die rechtsseitige Ausprägung des Symmetrieelements berücksichtigt.

$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{3}{4}$
0 4	0 3	0 2 1 1	0 2	0 1 1 1 1	0 1 2	0 1 3

Peirce(Farey)-Spuren

Peirce-Spuren, oft auch Farey-Spuren genannt, werden oft zum Nachweis von Irrationalitäten über die Pellsche Gleichung herangezogen.

Die Verfolgung einer Spur durch die Generationen der Peirce-Zahlen erfolgt dort über ein System von Matrizen der Form

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),R=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right),L=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$

Dabei beschreiben $L$ und $R$ den Weg durch die Generationen und das dort vorhandene Element $L$inks oder $R$echts der Lücke. So ergeben die Komponenten der Brüche, die sich dem goldenen Schnitt annähern aus

$R\cdot L\cdot R\cdot ...=\left(\begin{array}{cc}{f}_{g+1}& f_g\\ f_{g+2}& f_{g+1}\end{array}\right);f_g,f_{g+1},f_{g+2}\in 𝔽$ibonacci-Zahlen

Diese Startbedingungen sind in der Matrix $R$ für die 0te Generation g vorhanden.

Den Weg zum goldenen Schnitt und seinem ganz kleinen Bruder zeigt die folgende Abbildung. Dabei werden nur die Lücken zwischen den Elementen beschritten. Damit soll auch gezeigt werden, dass nicht rationale Werte angestrebt werden.

Die Multiplikation der Matrizen ergibt genau den "Ablauf" durch die Generationen. Mit entsprechenden Kombinationen der $L-R$-Multiplikationen sind Näherungen für beliebige irrationale Werte möglich.

Die Funktionsweise für eine beliebige Matrix A:

$A\cdot L=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}+a_{11}\\ a_{21}& a_{21}+a_{22}\end{array}\right)$

und

$A\cdot R=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}+a_{12}& a_{12}\\ a_{21}+a_{22}& a_{22}\end{array}\right)$

Es ergeben sich die Wege aus der Abbildung. Auch die doppelte Interpretation von $\frac{1}{2}$ wird hier anschaulich.

Die $L-R$-Spuren führen ausschließlich durch Generationen der Peirce-Zahlen. Die Bezeichnung Farey-Spuren resultiert aus der sog. Farey-Addition (s.u.).

Offenbar können über die Peirce-Spuren auch irrationale Werte mit beliebiger Genauigkeit ermittelt werden. Die L-R-Sequenzen beginnen im Beispiel bei $\frac{1}{2}$. Es ist jedoch möglich den Bereich auf das Element $\frac{1}{0}$ (nicht den Bruch, weil unzulässig!) auszudehnen. Das iterierende "L-R-Gleichungssystem" konvergiert trotzdem.