Körpererweiterung/Grad ist Primzahl/Zwischenkörper/Aufgabe/2/Lösung

Es gilt offensichtlich $K⊊K[x]$ und $K[x]\subseteq L$. Weiter gilt:

$p=[L:K]=[L:K[x]]\cdot [K[x]:K]$

Da $p$ Primzahl ist, gilt entweder $[L:K[x]]=1$ oder $[K[x]:K]=1$. Letzteres kann wegen $K⊊K[x]$ nicht gelten, also gilt $[L:K[x]]=1$ und somit $L=K[x]$.