Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Forum

Hausaufgaben 4

4.1 Konvergenz und Grenzwert Folgen/Untersuche Folgen auf Konvergenz 2/Aufgabe Konvergenz = monotonie und beschränkheit im $ℝ$-Raum

a) $\sum _{k=1}^n\frac{k}{n^2}=\frac{1}{n^2}\sum _{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}$

---> Das ist doch schon sehr gut! (Auch wenn die letzte Gleichung kurz zubegruenden ist) Man sieht nun also dass Vorlage:Mathl gilt. Fertig! (Den Grossteil deiner weiteren Argumentation verstehe ich nicht)

Für Positive reele Zahlen ist die Differenz der a(n+1) und a(n) )= $\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+2}$ ≥ 0 Monotonie gegeben. Beschränktheit ist nicht gegeben, weil bei n->0 die Folge gegen Unendlichkeit geht. Grenzwert bei n->oo = 1/2, was auch der unterschranke der Folge entspricht. D.h. bei broßen n konvergiert der Wert gegen 1/2. Insg. liegt keine andede Konverg. vor. spiegelverkehrtes Verhalten bei negativen reelen Zahlen.

b) bn = $\frac{1}{n}*(1+\frac{1}{n}{)}^n$→ $\frac{(1+n{)}^n}{n^n*n}$ -> lim n->oo Folge -> 1 / n Monotonie: d bn = $\frac{(n^2+2n{)}^{n+1}-(n^2+2n+1{)}^{n+1}}{S}$ kleiner Null => Folge Fällt. Allerdings zeigt die Ausgangsgleichung in TI 83 ein nicht monotones verhalten!!

---> Tipp: Mit dem Konvergenzverhalten des Ausdrucks Vorlage:Mathl haben wir uns intensiv in der Vorlesung beschäftigt!

4.2. Die Differenz ist hier: $\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}$ Die Folge steigt somit an. Beschränktheit unklar. Die Folge scheint nicht höher als 0,7 liegen. Konvergenz daher auch unklar.

---> Tipp: Jeder der Summanden von Vorlage:Mathl ist Vorlage:Math

Aufgabenblatt 21.7

Ich kann mir leider nicht Vorstellen wie eine derartige Funktion, wie in Aufgabe 21.7 beschrieben aussehen soll!

Kann jemand ein Beispiel angeben?

Hier nochmal die Aufgabe:

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion $f:\mathbb{Q}\to ℝ$ die genau zwei Werte annimmt.

Liebe Grüße und vielen Dank! Eva

Hi, was wir ja auf jedenfall wissen ist, das zum Beispiel $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q},x⟼f(x)=x^2-2$ stetig ist.

Das heißt ja wenn wir von $\mathbb{Q}\to ℝ$ haben werden dort logischer weise zwei Werte angenommen, da ja in $\mathbb{Q}\notin \sqrt{2}$ angenommen wird.

Viele Grüße Dominik

Die Abbildung die Dominik angibt nimmt allerdings mehr als zwei Werte an. Ein Beispiel einer stetigen Abbildung Vorlage:Math die genau zwei Werte annimmt erhält man wie folgt. Betrachte die offene Menge Vorlage:Math -- also der offene Ball in Vorlage:Math um null mit Radius Vorlage:Math Diese Menge ist gleich dem abgeschlossenen Ball mit dem selben Radius (es gibt keine rationale Zahlen die von 0 exakt den Abstand Vorlage:Math haben). Folglich sind sowohl Vorlage:Math als auch Vorlage:Math offen. Wir definieren jetzt

Vorlage:Math/display

Das ist eine wohldefinierte Abbildung und wir müssen zeigen, dass diese stetig ist. Dazu benutzen wir, dass man Stetigkeit dadurch charakterisieren kann, dass Urbilder offener Mengen wieder offen sind. Sei also Vorlage:Math offen. Dann ist Vorlage:Math wenn Vorlage:Math Wenn umgekehrt nur die null drin liegt erhält man als Urbild Vorlage:Math Wenn beide drin liegen erhält man ganz Vorlage:Math und wenn weder null noch eins drin liegen hat man die leere Menge. Das sind alles offene Mengen, sodass Vorlage:Math stetig ist und nach Konstruktion nimmt Vorlage:Math genau zwei Werte an.

--Axel 10:23, 15. Jul. 2010 (CEST)