Kurs:Statistik für Anwender/Zufallsvariablen

Zufallsvariablen

Diskrete Zufallsvariable und Bild

Gegeben sei ein endlicher W-Raum $(\mathrm{\Omega },P)$ (zugehörig zu einem ZE). Eine Funktion $Z:\mathrm{\Omega }\to ℝ$, die jedem möglichen Ergebnis eine reelle Zahl zuordnet, heißt diskrete Zufallsvariable (ZV).

Die Menge $Z(\mathrm{\Omega })=\{Z(\omega );\omega \in \mathrm{\Omega }\}$ aller Werte (Realisationen), die die ZV $Z$ annehmen kann, nennt man das Bild von $𝐙$.

Ist $Z:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ eine ZV, so schreibt man für eine Zahl $x\in ℝ$ auch
$$\{Z=x\}=\{\omega \in \mathrm{\Omega };Z(\omega )=x\}\text{und}$$
$$P(Z=x)=P(\{Z=x\})=P(\{\omega \in \mathrm{\Omega };Z(\omega )=x\})$$
(Man beachte, dass $\{Z=x\}=\mathrm{\varnothing }$ und folglich $P(Z=x)=0$ ist, falls $x\notin Z(\mathrm{\Omega })$ ist.)

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Um eine diskrete ZV $Z$ zu untersuchen, kann man oft auf eine Beschreibung des W-Raumes $(\mathrm{\Omega },P)$ verzichten und nur das Bild $Z(\mathrm{\Omega })$ sowie die Wahrscheinlichkeiten $P(Z=x)$ für $x\in Z(\mathrm{\Omega })$ angeben. Zusammen nennt man dies die Wahrscheinlichkeitsverteilung (W-Verteilung) von $𝐙$.
Es gilt stets: $\sum _{x\in Z(\omega )}P(Z=x)=1$
(Eine Beschreibung des W-Raumes kann aber manchmal helfen, um die Wahrscheinlichkeiten $P(Z=x)$ überhaupt zu bestimmen.)

W-Verteilung und Modelle

Wahrschienlichkeitsverteilungen, unabhängig davon, ob sie stetig oder diskret sind, sind immer Modelle, welche die Realität mehr oder weniger gut abbilden.

Beispiele

Beispiel I

Die ZV $X$ gibt die Augenzahl eines Würfels an. Dann hat man $\mathrm{\Omega }=\{1,\dots ,6\}$ und $X(i)=i\text{für alle}i\in \mathrm{\Omega }$. Also: $X(\mathrm{\Omega })=\{1,\dots ,6\}$ und $$P(X=1)=\frac{1}{6},P(X=2)=\frac{1}{6},P(X=3)=\frac{1}{6},$$ $$P(X=4)=\frac{1}{6},P(X=5)=\frac{1}{6},P(X=6)=\frac{1}{6}.$$

Beispiel II

Die ZV

$Y$

gibt die das Quadrat der Augenzahl eines Würfels an. Dann hat man

$\mathrm{\Omega }=\{1,\dots ,6\}$

und

$Y(i)=i^2\text{für alle}i\in \mathrm{\Omega }$

. Also:

$Y(\mathrm{\Omega })=\{1,4,9,16,25,36\}$

und

$$P(Y=1)=\frac{1}{6},P(Y=4)=\frac{1}{6},P(Y=9)=\frac{1}{6},$$ $$P(Y=16)=\frac{1}{6},P(Y=25)=\frac{1}{6},P(Y=36)=\frac{1}{6}.$$

Beispiel III

Die ZV $Z$ beschreibt die Augensumme zweier Würfel. Dann hat man $\mathrm{\Omega }=\{1,\dots ,6{\}}^2$ und $Z((i,j))=i+j\text{für alle}(i,j)\in \mathrm{\Omega }$. Also: $Z(\mathrm{\Omega })=\{2,\dots ,12\}$ und
$$\begin{array}{ccc}P(Z=2)& =& \frac{1}{36}\\ P(Z=3)& =& \frac{2}{36}\\ P(Z=4)& =& \frac{3}{36}\\ P(Z=5)& =& \frac{4}{36}\\ P(Z=6)& =& \frac{5}{36}\\ P(Z=7)& =& \frac{6}{36}\\ P(Z=8)& =& \frac{5}{36}\\ P(Z=9)& =& \frac{4}{36}\\ P(Z=10)& =& \frac{3}{36}\\ P(Z=11)& =& \frac{2}{36}\\ P(Z=12)& =& \frac{1}{36}\end{array}$$

Beispiel IV

Bei einem Glücksspiel befinden sich $1$ rote, $4$ schwarze und $15$ weiße Kugeln in einer Lostrommel.

• Man darf eine Kugel ziehen. Zieht man die Rote gewinnt man $20$ Euro, zieht man eine Schwarze gewinnt man $5$ Euro, zieht man eine Weiße gewinnt man nichts. Die ZV $G$, die den Gewinn beschreibt, hat als Bild $G(\mathrm{\Omega })=\{0,5,20\}$ und es gilt: $$P(G=0)=0.75,P(G=5)=0.2,P(G=20)=0.05$$

Beispiel V

• Nun darf man zwei Kugeln mit Zurücklegen ziehen. Die ZV $G_2$ beschreibt den Gesamtgewinn. Man berechnet $G_2(\mathrm{\Omega })=\{0,5,10,20,25,40\}$ und:
  $$\begin{array}{ccc}P(G_2=0)=0.5625& P(G_2=5)=0.3& P(G_2=10)=0.04\\ P(G_2=20)=0.075& P(G_2=25)=0.02& P(G_2=40)=0.0025\end{array}$$

Beispiel VI

• Nun darf man zwei Kugeln ohne Zurücklegen ziehen. Die ZV $\widetilde{G_2}$ beschreibt den Gesamtgewinn. Man berechnet $\widetilde{G_2}(\mathrm{\Omega })=\{0,5,10,20,25\}$ und:
  $$\begin{array}{ccc}P(\widetilde{G_2}=0)=0.5526& P(\widetilde{G_2}=5)=0.3158& P(\widetilde{G_2}=10)=0.0316\\ P(\widetilde{G_2}=20)=0.0789& P(\widetilde{G_2}=25)=0.0211& \end{array}$$
  (Die angegebenen Wahrscheinlichkeiten können durch die Aufstellung eines geeigneten W-Raums bestimmt werden, man kann aber auch anders vorgehen, z.B. mittels Erstellung von Baumdiagrammen.)

Erwartungswert und Standardabweichung einer diskreten ZV

Sei $(\mathrm{\Omega },P)$ ein endlicher oder abzählbarer W-Raum und $Z:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ eine (diskrete) ZV auf $\mathrm{\Omega }$. Dann heißen: $$\begin{array}{cccc}{\mu }_Z=E(Z)& =& \sum _{x\in Z(\mathrm{\Omega })}P(Z=x)\cdot x& \text{Erwartungswert von }Z\\ V(Z)& =& \sum _{x\in Z(\mathrm{\Omega })}P(Z=x)\cdot {(x-E(Z))}^2& \text{Varianz von }Z\\ {\sigma }_Z& =& \sqrt{V(Z)}& \text{Standardabweichung von }Z\end{array}$$

Verschiebungssatz

Für die Varianz gilt ebenso wie für die empirische Varianz der Verschiebungssatz: Für eine endliche ZV $X$, die die Werte $a_1,...,a_m\in ℝ$ annehmen kann, gilt stets: $$V(X)=\sum _{k=1}^{m}P(X=a_k)\cdot a_k^2-E(X{)}^2$$

Beispiele

(vergleiche Beispiele)

Beispiel I

Für die ZV $X,Y,Z$ gilt:

• Der Erwartungswert von $X$ ist:
  $$E(X)=3.5$$
  Die Varianz von $X$ ist:
  $$V(X)=2.917$$
  Daraus ergibt sich ${\sigma }_X=1.708$.
  
• Der Erwartungswert von $Y$ ist:
  $$E(Y)=15.167$$
  Die Varianz von $Y$ ist:
  $$\begin{array}{ccc}V(Y)& =& 149.14\end{array}$$
  Daraus ergibt sich ${\sigma }_Y=12.212$.

Beispiel II

• Der Erwartungswert von $Z$ ist:
  $$E(Z)=7$$
  Die Varianz von $Z$ ist:
  $$\begin{array}{ccc}V(Z)& =& 5.833\end{array}$$
  Daraus ergibt sich ${\sigma }_Z=2.415$.

Beispiel III

Für die ZV $G,G_2,\widetilde{G_2}$ gilt:

• $E(G)=2$, $V(G)=21$
• $E(G_2)=4$, $\begin{array}{c}V(G_2)=42\end{array}$
• $E(\widetilde{G_2})=4$, $\begin{array}{c}V(\widetilde{G_2})=39.79\end{array}$

Anmerkung

Der Erwartungswert gibt den " im Durchschnitt zu erwartenden Wert einer ZV " an, die Varianz gibt die " im Durchschnitt zu erwartende quadratische Abweichung vom Erwartungswert " an. Die Standardabweichung ist ein Maß für die "zu erwartende Schwankung (Streuung) ".

Aufgabe

Geben Sie im Folgenden die angegebenen Informationen und die gesuchten Werte als Wahrscheinlichkeiten $P(\dots )$ bzw. als bedingte Wahrscheinlichkeiten $P(\dots |\dots )$ an:
Jeder vierte Bewohner eines Ortes besitzt einen Garten. $60\mathrm{\%}$ der Gartenbesitzer haben ein Haustier, von den Übrigen haben nur $20\mathrm{\%}$ ein Haustier.

• Wie hoch ist der Anteil der Bewohner, die ein Haustier besitzen?
• Wie hoch ist der Anteil der Gartenbesitzer unter denen, die ein Haustier besitzen? Wie hoch ist der Anteil der Gartenbesitzer unter denen, die kein Haustier besitzen?

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