Kurs:Statistik für Anwender/Weitere diskrete Zufallsvariablen

Weitere diskrete ZV

Die nachfolgenden ZV werden hier kurz vorgestellt. Selbstverständlich können auch für die Parameter dieser Verteilungen Punkt- und Intervallschätzungen vorgenommen werden, es soll hier jedoch nicht weiter darauf eingegangen werden.

Poisson-verteilte ZV

Die Zufallsvariable $X$ heißt Poisson-verteilt mit der durch Beobachtung zu erwartenden Ereignishäufigkeit $\lambda$ , wenn ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion gegeben ist durch
$$P(X=x)=\frac{{\lambda }^x}{x!}{e}^{-\lambda }$$
für $x\in \mathbb{N}$.

Die Poissonverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl von Ereignissen an, die unabhängig voneinander in einem räumlichen Gebiet oder zeitlichen Intervall auftreten. Ist $X$ Poisson-verteilt mit Parameter $\lambda$, so gilt
$$E(X)=\lambda$$
und
$$Var(X)=\lambda$$

Beispiel 1

Mit $\lambda =1$ (blau), $\lambda =5$ (grün) und $\lambda =10$ (rot).

Rekursionformel

Für die Poissonverteilung gilt die Rekursionsformel
$$P(X=x)=\frac{\lambda }{k}\cdot P(X=x-1)$$
für $x\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$ und es gilt $P(X=0)=e^{-\lambda }$.

Es folgt wie zuvor für
$$P(X\le x)=\sum _{j=0}^x\frac{{\lambda }^j}{j!}{e}^{-\lambda }$$
und für
$$P(x\le X\le \ell )=\sum _{j=x}^{\ell }\frac{{\lambda }^j}{j!}{e}^{-\lambda }$$.

Kumulierte Verteilung

Da bei der Poissonverteilung jedoch theoretisch gesehen unendlich viele Ereignisse in dem betrachteten Intervall auftreten können, wird die kumulierte Verteilung für $P(X\ge x)$ mittels einer unendlichen Summe dargestellt: $$P(X\ge x)=\sum _{j=x}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^j}{j!}{e}^{-\lambda }.$$

Anmerkung 1

Dennoch gilt die Normierbarkeit, da die Wahrschienlichkeiten für $x>\lambda$ abnehmen und sich beliebig nahe an die $0$ annähern. Somit liegt zwar eine unendliche Summe vor, diese konvergiert jedoch, d.h. hat einen endlichen Wert, nämlich
$$P(x\in \mathrm{\Omega })=\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}P(X=x)=1$$

Beispiel 2.1

An einer radioaktiven Probe aus Uran werden pro Sekunde im Mittel $\lambda =4.5$ Zerfälle gemessen. Die Zufallsvariable $X$, welche die Anzahl der Zerfälle pro Sekunde angibt, ist somit Poissonverteilt und es ergibt sich die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:
$$P(X=x)=\frac{4.5^x}{x!}{e}^{-4.5}$$
Daraus resultieren die folgenden Wahrscheinlichkeiten für $x=0,...10$:
$$\begin{array}{cccccccccccc}x& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ P(X=x)& 0.0111& 0.05& 0.1125& 0.1687& 0.1898& 0.1708& 0.1281& 0.0824& 0.0463& 0.0232& 0.0104\end{array}$$

Beispiel 2.2

$$P(X\ge 3)=0.8264$$
$$P(X\le 5)=0.7029$$
$$P(3\le X\le 6)=0.6574$$
Kommentar: ${\sum }_{x=0}^{10}P(X=x)=0.9928$, andere Zerfälle sind auch möglich, aber die Wahrscheinlichkeiten sind so gering, dass sie nicht weiter aufgeführt werden.

In R

$$\begin{array}{c}\text{In}\\ \text{R:}& \text{dpois(}x,\lambda )& \text{ergibt:}& P(X=x)& =& \frac{{\lambda }^x}{x!}{e}^{-\lambda }\\ \\ & \text{ppois(}x,\lambda )& \text{ergibt:}& P(X\le x)& =& \sum _{j=0}^x\frac{{\lambda }^j}{j!}{e}^{-\lambda }\\ \\ & 1-\text{ppois(}x-1,\lambda )& \text{ergibt:}& P(X\ge x)& =& \sum _{j=x}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^j}{j!}{e}^{-\lambda }\\ \\ & \text{ppois(}\ell ,\lambda )-\text{ppois(}x-1,\lambda )& \text{ergibt:}& P(k\le T\le \ell )& =& \sum _{j=x}^{\ell }\frac{{\lambda }^j}{j!}{e}^{-\lambda }\end{array}$$

Anmerkung 2

Die Poissonverteilung stellt den Grenzwert für eine binomialverteilte ZV mit unendlich vielen Versuchen dar.

Aufgabe 1

Gegeben sei eine Poissonverteilte ZV $P$ mit $\lambda =17$. Bestimmen Sie Erwartungswert, Varianz und die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

1. $P(P=17)$
2. $P(P\le 20)$
3. $P(5\le P\le 15)$
4. $P(15\le P\le 19)$
5. $P(P\ge 8)$

Geometrisch verteilte ZV

Zufallsexperimente mit geometrisch verteilten ZV können als Spezialfälle binomialverteilter ZV betrachtet werden, wobei hier zwischen zwei Varianten unterschieden wird:

1. Durchführen eines binomialverteilten Zufallsexperiemnt, bis ein "Treffer "
   erzielt wird und die ZV $X$ gibt die Anzahl der Versuche an.
2. Durchführen eines binomailverteilten Zufallsexperiment, bis ein "Treffer"erzielt wird und die ZV $Y$ gibt die Anzahl der Fehlversuche an.

Beispiel 1

Zu Fall 1 (Anzahl der Versuche) mit $p=0.2$ (blau), $p=0.5$ (grün) und $p=0.8$ (rot).

Beispiel 2

Zu Fall 2 (Anzahl der Fehlversuche) mit $p=0.2$ (blau), $p=0.5$ (grün) und $p=0.8$ (rot).

Zusammenhang zwischen den Varianten

Die beiden Varianten stehen in der Beziehung $X=Y+1$.

Somit ergeben sich die beiden folgenden Formeln für die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit:

Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für X

Für die ZV $X$ gilt:
$$P(X=n)=p\cdot (1-p{)}^{n-1}(n=1,2,...)$$
$$P(X\le n)=\sum _{i=1}^{n}p\cdot (1-p{)}^{i-1}=1-(1-p{)}^n$$
$$P(X\ge n)=\sum _{i=n}^{\mathrm{\infty }}p\cdot (1-p{)}^{i-1}=1-(1-(1-p{)}^n)=(1-p{)}^{n-1}$$
$$E(X)=\frac{1}{p}$$
$$Var(X)=\frac{1-p}{p^2}$$

Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für Y

Für die ZV $Y$ gilt:
$$P(Y=n)=p\cdot (1-p{)}^n(n=0,1,2,...)$$
$$P(Y\le n)=\sum _{i=1}^{n}p\cdot (1-p{)}^i=1-(1-p{)}^{n+1}$$
$$P(Y\ge n)=\sum _{i=n}^{\mathrm{\infty }}p\cdot (1-p{)}^i=1-(1-(1-p{)}^{n+1})=(1-p{)}^n$$
$$E(Y)=\frac{1-p}{p}$$
$$Var(Y)=Var(X)$$

Beispiel 3

Werfen einer Münze bis zum Eintreten von Kopf.
$$P(X\le 3)=0.875$$
$$P(Y\le 3)=0.9375$$
$$P(X=5)=0.0313$$
$$P(Y=5)=0.0156$$

In R

$$\begin{array}{c}\text{In}\\ \text{R:}& \text{dgeom(}n,p)& \text{ergibt:}& P(Y=n)& =& p\cdot (1-p{)}^{n-1}\\ \\ & \text{pgeom(}n,p)& \text{ergibt:}& P(Y\le n)& =& p\cdot \sum _{i=1}^n(1-p{)}^{i-1}\\ \\ & 1-\text{pgeom(}n-1,p)& \text{ergibt:}& P(Y\ge n)& =& p\cdot \sum _{i=n}^{\mathrm{\infty }}(1-p{)}^{i-1}\\ \\ & \text{pgeom(}\ell ,p)-\text{pgeom(}n-1,p)& \text{ergibt:}& P(n\le Y\le \ell )& =& p\cdot \sum _{i=n}^{\ell }(1-p{)}^{i-1}\end{array}$$

In R wird die zweite Varainte betrachtet, welche die Anzahl der Fehlversuche zählt, https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/stats/html/Geometric.html

Aufgabe 2

Gegeben Sei die geometrisch verteilte ZV $G$ mit $p=0.7$. Bestimmen Sie Erwartungswert, Varianz und die folgenden Wahrscheinlichkeiten (Variante 2):

1. $P(G=7)$
2. $P(G\le 14)$
3. $P(2\le G\le 5)$
4. $P(8\le G\le 17)$
5. $P(G\ge 4)$

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