Kurs:Lineare Algebra I/Matrix-Kalkül

Rang und assoziierte Unterräume

a) Matrizen als Vektorraum (zur Wiederholung)

Neben den elementaren Zeilenoperationen sind die folgenden Operationen naheliegend:

Addition von Matrizen mit gleichem Typ:

$+:Mat(m,n;K)\times Mat(m,n;K)\to Mat(m,n;K),(A,B)\mapsto A+B:=(a_{ij}+b_{ij})$.

Skalare Multiplikation einer Matrix mit einer Konstanten:

$\cdot :K\times Mat(m,n;K)\to Mat(m,n;K),(r,A)\mapsto rA:=(r{a}_{ij})$.

Mit diesen Operationen wird die Menge $Mat(m,n;K)$ zu einen K-Vektorraum. Testfrage: Welche Dimension hat dieser Vektorraum?

Eine weitere (einstellige) Operation:

Transposition einer Matrizen:

$t^{}:Mat(m,n;K)\to Mat(n,m;K),A=(a_{ij})\mapsto A^t:=(a_{ji})$.

Dabei werden die Spalten und Zeilen miteinander vertauscht.

Regeln: $(A+B{)}^t=(A^t+B^t)$ und $(rA{)}^t=r(A^t)$, d.h. ${-}^t$ ist linear (und bjektiv), also ein Isomorphismus der Vektorräume.

b) Unterräume assoziiert zu einer Matrix

Einer Matrix $A\in Mat(m,n;K)$ ordnen wir drei Unterräume zu:

• $Z(A)\subseteq K^n$ - Zeilenvektorraum, erzeugt von den Zeilenvektoren von $A$,
• $S(A)\subseteq K^m$ - Spaltenvektorraum, erzeugt von den Spaltenvektoren von $A$,
• $H(A,0)\subseteq K^n$ - Lösungsraum des zu $A$ zugehörigen linearen Gleichungssystems.

Bemerkung: Der Zeilenraum einer Matrix ist unter Zeilenoperationen (also beim Gauß-Algorithmus) invariant.

Aus den Sätzen 1.10 und 2.8 erhalten wir:

Satz 3.1 (3. Dimensionsformel)

$dim𝒵(A)=dim𝒮(A)=n-dim\mathscr{H}(A,0)$.

Nur für den Körper der reellen Zahlen (oder dessen Unterkörper wie $\mathbb{Q}$) gilt die folgende Aussage:

Lemma 3.2

Sei $K=ℝ$, dann ist $𝒵(A)\cap \mathscr{H}(A,0)=\{0\}$, insbesondere sind $𝒵(A)$ und $\mathscr{H}(A,0)$ komplementär.

Wir können nun eine vom Gauß-Algorithmus unabhängige Charakterisierung des Ranges geben.

Definition 3.3

Der Rang einer Matrix ist die maximale Zahl linear unabhängiger Zeilen (bzw. Spalten) einer Matrix, d.h. $rg(A)=dim𝒵(A)=dim𝒮(A)$.

Matrixprodukt

Die Multiplikation von Matrizen kann auf die Verknüpfung linearer Abbildungen zurückgeführt werden. Idee: Seien $A\in Mat(m,n;K)$ und $B\in Mat(n,k;K)$ zwei Matrizen, dann liefert die Verknüpfung $f_A\circ f_B$ eine lineare Abbildung $g:K^k\to K^m$, die gerade vom Produkt der Matrizen $A\cdot B$ induziert sein soll, d.h. die Produktmatrix $C=A\cdot B$ wird durch die Gleichung $f_C=f_A\circ f_B$ eingeführt.

Definition 3.4

Das Produkt zweier Matrizen $A=(a_{ij})\in Mat(m,n;K)$ und $B=(b_{jl})\in Mat(n^{\prime },k;K)$ ist definiert, falls Spaltenzahl von A gleich Zeilenzahl von B (also $n=n^{\prime }$) und ergibt eine Matrix vom Typ $m\times k=$ Zeilenzahl(A) $\times$ Spaltenzahl(B): $A\cdot B:=(\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{jl})\in Mat(m,k;K)$.

Das Produkt von Matrizen induziert Abbildungen $Mat(m,n;K)\times Mat(n,k;K)\to Mat(m,k;K)$.

Sofern die Produkte definiert sind gelten folgende Regeln:

a) $A(BC)=(AB)C$,

b) $A(B+C)=AB+AC$,

c) $(A+B)C=AC+BC$,

d) $r(AB)=(rA)B=A(rB)$,

e) $(AB{)}^t=B^t{A}^t$,

f) $I_{m}A=A{I}_n=A$, wobei $A\in Mat(m,n)$ und $I_n$ die (n, n)-Matrix aus den n Einheitsvektoren.

Achtung: Auch für quadratische Matrizen ist das Produkt in der Regel nicht kommutativ.

Vereinfachte Schreibweisen:

a) Ein lineares Gleichungssystem mit erweiterter Koeffizientenmatrix $(A,b):A\cdot x=b,$ $x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$

b) Die einer Matrix A zugeordnete lineare Abbildung $f_A:K^n\to K^m:f_A(x)=A\cdot x$.

c) $Ker(f_A)=\mathscr{H}(A,0)$

d) $Im(f_A)=𝒮(A)=\{b|\mathscr{H}(A,b)\ne \mathrm{\varnothing }\}$

e) $f_A^{-1}(b)=\mathscr{H}(A,b)$

Üblicherweise wird der Punkt bei der Matrixmultiplikation weggelassen.

Reguläre Matrizen

Im folgenden Abschnitt werden ausschließlich quadratischen Matrizen betrachtet: $Ma{t}_n:=Mat(n,n)$. Hier ist die Multiplikation unbeschränkt ausführbar. Wir fragen nach der Existenz einer zu $A$ inversen Matrix, d.h. nach einer Lösung der Matrixgleichung $AX=I_n$.

Satz 3.5

Die Matrixgleichung $AX=I_n$, $A\in Ma{t}_n$, ist lösbar gdw. $rg(A)=n$. Ist die Gleichung lösbar, dann ist die Lösung eindeutig.

Die eindeutige Lösung bezeichnen wir mit $A^{-1}$, die Inverse von $A$. Quadratische Matrizen mit maximalem Rang nennen wir regulär. Die Menge aller regulären Matrizen bezeichnen wir mit $G{l}_n$.

Definition 3.6

Eine Matrix $A\in Ma{t}_n$ heißt regulär, wenn $rg(A)=n$.

Rechenregeln:

Seien $A,B\in G{l}_n$, dann sind $AB$ und $A^t$ ebenfalls regulär und es gilt:

$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$ und $(A^t{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^t$.

Testfragen:

Wie sieht die reduzierte Zeilen-Stufenform einer regulären Matrix aus?

Welchen Rang hat $A^{-1}$? (Begründung?)

Rechenverfahren: Bestimmung der Inversen

Überführe $(A,I_n)\in Mat(n,2n)$ in die reduzierte Zeile-Stufenform. Resultat: $(I_n,A^{-1})$.

Bemerkungen: Die Menge aller regulären Matrizen bildet eine Gruppe, die lineare Gruppe. Wir führen den Gruppenbegriff erst später ein, hier bedeutet dies: Das Produkt zweier regulärer Matrizen ist wieder regulär und ebenso ihre Inverse. Bezeichnung: $G{l}_n(K):=\{A\in Mat(n,n;K)|Aregulaer\}$.

Elementarmatrizen

Die elementaren Zeilen- (bzw. Spalten-) operationen werden durch Multiplikation mit den sogenannten Elementarmatrizen induziert.

Definition 3.7

Die Anwendung einer elementaren Zeilenoperation $p_{ik}$, $q_{ik}(\lambda )$ oder $m_i(\lambda )$ auf die Einheitsmatrix $I_n$ ergibt eine zugehörige Elementarmatrix, die wir entsprechend der Elementaroperation mit $P_{ik}$, $Q_{ik}(\lambda )$ bzw. $M_i(\lambda )$ bezeichnen.

Satz 3.8

Sei $o$ eine der elementaren Zeilenoperationen $p_{ik}$, $q_{ik}(\lambda )$, $m_i(\lambda )$ und $O$ die zugehörige Elementarmatrix, dann gilt: $A\stackrel{o}{⇝}{A}^{\prime }=O\cdot A$.

Bemerkungen: Für eine analoge Spaltenoperation gilt: $A\stackrel{⇝}{o}{A}^{\prime }=A\cdot O^t$, wobei $O^t$ die Transponierte von $O$ ist.

Lemma 3.9

a) Jede reguläre Matrix ist Produkt von Elementarmatrizen.

b) Ist $A⇝A^{\prime }$ ein Folge elementarer Zeilenoperationen, dann existiert eine Matrix $C\in G{l}_m$ mit $A^{\prime }=CA$.

c) Ist $A⇝A^{\prime }$ eine Folge elementarer Spaltenoperationen, dann existiert eine Matrix $D\in G{l}_n$ mit $A^{\prime }=AD$.

d) Zu jeder Matrix $A\in Mat(m,n)$, $rg(A)=r$, gibt es Matrizen $C\in G{l}_m$ und $D\in G{l}_n$ mit

$CAD=\left(\begin{array}{cc}{I}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$.

Koordinaten-Kalkül

Definition 3.10

Jede Basis $B=\{b_1,...,b_n\}$ eines Vektorraumes $V$ induziert durch die Zuordnung $b_i\mapsto e_i$ einen Koordinatenisomorphismus ${\varphi }_B:V\to K^n$. Hierbei heißt das n-Tupel $(x{)}_B$ Koordinaten von x bzgl. B und ergibt sich aus den Koeffizienten der eindeutigen Darstellung von x als Linearkombination von B: $x={\lambda }_1{b}_1+...+{\lambda }_n{b}_n$, $(x{)}_B=\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ ⋮\\ {\lambda }_n\end{array}\right)$.

Satz 3.11

Für die Umrechnung von Koordinaten gilt: Sind $B$ und $B^{\prime }$ zwei Basen von $V$, so ist $(x{)}_{B^{\prime }}=T\cdot (x{)}_B$, wobei die Transformationmatrix $T=T_{B^{\prime }}^B$ die Matrix zur Abbildung ${\varphi }_{B^{\prime }}\circ {\varphi }_B^{-1}$ ist.

Definition 3.12

Die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung $f:V\to W$ bzgl. einer Basis $B$ von $V$ und einer Basis $C$ von $W$ ist die zu ${\varphi }_C\circ f\circ {\varphi }_B^{-1}$ gehörige Matrix, $M_C^B(f)=M({\varphi }_C\circ f\circ {\varphi }_B^{-1})$.

Die Matrixdarstellung lässt sich am einfachsten mit einem Diagramm von Abbildungen erklären.

Die Matrix $M(f)=M_C^B(f)$ wird wie folgt aufgestellt: Die $n=dim(V)$ Spalten ergeben sich aus den Koordinaten bzgl. $C$ der Bilder der Basisvektoren $(f(b_1){)}_C,...,(f(b_n){)}_C$ von $B$, abgekürzt $M_C^B(f)=(f(B{)}_C)\in Mat(m,n;K)$. Die Umrechnung der Darstellungen bzgl. verschiedener Basen kann man sich an entsprechenden Abbildungsdiagrammmen verdeutlichen.

Satz 3.13

Es gelten die folgenden Transformationsformeln, dabei sind $B$, $B^{\prime }$ Basen von $V$, sowie $C$ und $C^{\prime }$ Basen von $W$ und $f\in Hom(V,W)$ eine lineare Abbildung:

(1) $(f(x){)}_C=M_C^B(f)\cdot (x{)}_B$

(2) $M_{C^{\prime }}^{B^{\prime }}(f)=T_{C^{\prime }}^C\cdot M_C^B(f)\cdot T_B^{B^{\prime }}$

(3) $M_{B^{\prime }}^B(i{d}_V)=T_{B^{\prime }}^B=(T_B^{B^{\prime }}{)}^{-1}=M_B^{B^{\prime }}(i{d}_V{)}^{-1}$

Bemerkung:

Ist $B$ eine Basis von $K^n$ und bezeichne $B$ ebenfalls die Matrix, deren Spalten aus den Vektoren der Basis $B$ gebildet werden, so gilt: $B=T_I^B$, $I$ bezeichne die kanonische Basis $\{e_1,...,e_n\}$.