Kurs:Gewöhnliche Differentialgleichungen/Terminologie

1.2 Terminologie

Eine partielle Differentialgleichung ist eine Gleichung für die gesuchte Funktion $y=y(x):{ℝ}^n\to {ℝ}^m,n,m\in \mathbb{N}$ in der Form $$F(x,y,Dy,D^{2}y,\dots )=0,(1.5)$$

wobei wir für einen Multiindex $\alpha =({\alpha }_1,\dots {\alpha }_n{)}^T\in ({\mathbb{N}}_0{)}^n$ mit $|\alpha |={\alpha }_1+\dots +{\alpha }_n$ die $\alpha$-te partielle Ableitung von $y(x)$ is definiet als $$D^{\alpha }y=\frac{{\partial }^{|\alpha |}y}{\partial x_1^{{\alpha }_1}\dots \partial x_n^{{\alpha }_n}}$$,

und für $k\in \mathbb{N}$ ist $$D^{k}y=D^{|\alpha |}y$$ die Kollektion aller Ableitungen der Ordnung $k$ ist.

Für $D^{1}y$ schreibt man kurz $Dy$. Zum Beispiel gehören $D^{(2,0)}y=\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x_1^2}$, und $D^{(1,1)}y=\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x_1\partial x_2}$ beide zur Kollektion $D^{2}y$ der zweiten Ableitung von $y$.

Ist $m>1$, so handelt es sich bei (1.5) um ein System von Differentialgleichungen, da die gesuchte Funktion vektorwertig ist. Falls $n=1$, stellt (1.5) eine gewöhnliche Gleichung, oder ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen dar. Eine gewöhnlichen Differentialgleichung (oder ein System) der Ordnung $k$ für eine Funktion $y:ℝ\to {ℝ}^m$ hat die Form $$F(x,y,y^{\prime },y^{″},\dots y^{(k)})=0.$$

Bei einer gewöhnlichen Differentialgleichung wird oft die unabhängige Variable als $t$ anstatt $x$ bezeichnet, wenn die Differentialgleichung ihre Anwendung in zeitabhängigen Prozessen findet, die nicht vom Raum abhängen.

Ist die Funktion $F$ in obigen Differentialgleichungen linear in $y$ und deren Ableitungen (welcher Ordnung auch immer), heißt die Differentialgleichung linear. Treten höhere Potenzen von $y$ und deren Ableitungen, oder andere nicht-lineare Abhängigkeiten auf, so heißt die Differentialgleichung nichtlinear. Zum Beispiel ist $y^{\prime }=t^{2}y$ eine lineare und $y^{\prime }\sin (y)=t$ eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung.

1.2.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung

Anfangswertaufgabe (AWA)

Unter einer Anfangswertaufgabe verstehen wir folgendes Problem:
Gegegen sei ein Gebiet $D\subset {ℝ}^m,y_0\in D,t_0<T\in ℝ$ und eine Funktion $f:(t_0,T)\times D\to {ℝ}^m$. Gesucht wird eine Funktion $y:(t_0,T)\to D$ mit $$\begin{array}{ccc}{y}^{\prime }& =& f(t,y(t))\mathrm{\forall }t\in (t_0,T)\\ y(t_0)& =& y_0.\end{array}(1.6)$$

$y_0$ nennen wir den Anfangswert. Die Gleichung (1.6) beschreibt entweder eine einzige, oder ein System von gewöhnlichen DGL $$\begin{array}{ccc}{y_1}^{\prime }& =& f_1(t,y_1(t),\dots ,y_m(t))\mathrm{\forall }t\in (t_0,T)\\ & ⋮& ⋮\\ {y_m}^{\prime }& =& f_m(t,y_1(t),\dots y_m(t))\\ (y_1,\dots y_m{)}^T(t_0)& =& (y_1^0,\dots y_m^0{)}^T,\end{array}(1.7)$$

wobei $y^T$ der transponierte Vektor zu $y$ ist.

Ein Beispiel einer Anfangswertaufgabe ist die Differentialgleichung (1.2) mit der Anfangsbedingung $y(t_0)=a$. Die analytische (exakte) Lösung dieser Gleichung ist nicht gerade einfach zu finden und lautet in impliziter Form $\sqrt{a^2-y^2}-a\log \left(\frac{a+\sqrt{a^2-y^2}}{y}\right)=-t+c,$ wobei die Konstante $c$ durch die Anfangsbedingung $y(t_0)=a$ bestimmt wird. Im folgendem beschreiben wir einige Lösungsansätze anhand von Beispielen.

Beispiel 1.2. Löse folgende Anfangswertaufgabe $$y^{\prime }(t)=y(t),y(0)=1.$$ Offensichtlich ist die analytische Lösung die Funktion $y(t)=e^t$. Wir erhalten diese Lösung auch durch folgendes iteratives Vorgehen:
Durch das Integrieren der Gleichung bezüglich ${\int }_0^{t}ds$ erhalten wir $y(t)-1={\int }_0^{t}y(s)ds$. Nun bestimmen wir die Lösung iterativ, in dem wir in jedem Iterationsschrit auf der rechten Seite dieser Gleichung die alte Iteration einsetzen, d.h. $y^{n+1}(t)=1+{\int }_0^t{y}^n(s)ds$. Als Startiteration nehmen wir den Anfangswert $y^0=y(0)=y_0$: $$\begin{array}{ccc}& & y^1(t)=1+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{y}^0(s)ds=1+\underset{0}{\overset{t}{\int }}1ds=1+t\\ & & y^2(t)=1+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{y}^1(s)ds=1+\underset{0}{\overset{t}{\int }}1+sds=1+t+t^2/2\\ & & y^3(t)=1+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{y}^2(s)ds=1+\underset{0}{\overset{t}{\int }}1+s+s^2/2ds=1+t+t^2/2+t^3/6\\ & & ⋮\text{(mathematische Induktion)}\\ & & y^k(t)=1+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{y}^{k-1}(t)dt=1+\underset{0}{\overset{t}{\int }}1+s+\frac{s^2}{2}+\frac{s^{k-1}}{(k-1)!}ds=1+t+t\frac{t^2}{2!}+\dots +\frac{t^k}{k!}\end{array}$$

Man kann man zeigen, dass $y^k(t)\to e^t$ für $k\to \mathrm{\infty }$ (zeigen Sie es!)

Beispiel 1.3. Betrachte folgende Anfangswertaufgabe $$y^{\prime }(t)=1-3t+y(t)-t^2+ty(t),y(0)=0.$$ Da diese Lösung nicht leicht zu bestimmen ist, lösen wir diese Differentialgleichung iterativ, wir setzen $y^0(t)=y(0)=0$ und rechnen wie im obigem Beispiel $$\begin{array}{ccc}{y}^1(t)& =& 0+\underset{0}{\overset{t}{\int }}1-3s+y^0(s)-s^2+s{y}^0(s)ds=\underset{0}{\overset{t}{\int }}1-3s-s^{2}ds=t-\frac{3}{2}{t}^2-\frac{t^3}{3}\\ y^2(t)& =& 0+\underset{0}{\overset{t}{\int }}1-3s+y^1(s)-s^2+s{y}^1(s)ds=\underset{0}{\overset{t}{\int }}1-2s-\frac{3}{2}{s}^2-\frac{11}{6}{s}^3-\frac{s^4}{3}ds\\ & =& t-t^2-\frac{t^3}{2}-\frac{11t^4}{24}-\frac{t^5}{15}\\ y^3(t)& =& 0+\underset{0}{\overset{t}{\int }}1-3s+y^2(s)-s^2+s{y}^2(s)ds=\dots \text{(zum Ende rechnen!)}\end{array}$$

Beispiel 1.4. Die Lösung der Differentialgleichung $$y^{\prime }(t)=\lambda y(t),\lambda \in ℝ$$ ist offensichtlich die Funktion $y(t)=c{e}^{\lambda t}$ für ein beliebiges $c\in ℝ$. Die Konstante $c$ legt man fest, in dem man diese Lösung zwingt einen bestimmen Wert am Anfang (in $t_0$), $y(t_0)\stackrel{!}{=}{y}_0$ anzunehmen. Aus der Anfangsbedingung folgt dann $c=y_0{e}^{-\lambda t_0}$.

Allgemein kann man Differentialgleichungen erster Ordnung, deren rechte Seite sich als Produkt zwei Funktionen $f(t)g(y)$ aufschreiben lässt mit Hilfe der Trennung der Variablen finden:

Sei eine Differentialgelichung erster Ordnung in der Form $$y^{\prime }(t)=f(t)g(y)$$ gegeben. Diese lässt sich umschreiben als $\frac{y^{\prime }(t)}{g(y(t))}=f(t)$. Man beachte dass $$\frac{d}{dt}(\int \frac{1}{g(y)}dy)=\frac{y^{\prime }(t)}{g(y(t))}=f(t),$$ daher erhält man durch das Integrieren der obigen Gleichung bezüglich $t$ $$\int \frac{1}{g(y)}dy=\int f(t)dt+const,$$ beziehungsweise $$G(y)=F(t)+const,(1.8)$$

wobei $G(y)$ die Stammfunktion von $\frac{1}{g(y)}$ und $F(t)$ die Stammfunktion von $f(t)$ bezeichnet. Aus der Gleichung (1.8) kann man (unter günstigen Umständen) die gesuchte Funktion $y$ bestimmen. Ist der Anfangswert vorgeschrieben, $y(t_0)=y_0$, so ist $const=G(y_0)-F(t_0)$.

Beispiel 1.5. Finde die Lösung für folgende Anfangswertaufgabe $$y^{\prime }=t{e}^{-y},y(t_0)=y_0.$$ Durch Trennung der Variablen erhält man $\frac{d}{dt}(e^y)\equiv e^y{y}^{\prime }=t$. Man integriere jetzt diese Gleichung bezüglich $t$ und erhält $e^{y(t)}-e^{y(t_0)}=t^2/2-t_0^2/2$, woraus folgt dass $$y(t)=\ln (\frac{t^2}{2}+e^{y_0}-\frac{t_0^2}{2}).\mathrm{\%}\text{für }{e}^{y_0}-\frac{t_0^2}{2}>0$$

Beispiel 1.6 (Variation der Konstanten). Man betrachte nun die Verallgemeinerung des Beispiels 1.4: $$y^{\prime }(t)=f(t)y(t)+g(t)$$

• homogener Fall, $g(t)=0$: $y^{\prime }(t)=f(t)y(t)$: die Lösung ist mithilfe der Trennung der Variablen leicht zu erhalten, $$y(t)=c\cdot e^{\int f(t)dt},c\in ℝ.(1.9)$$

• inhomogener Fall, $g(t)\ne 0$. In diesem Fall führt der Ansatz der Variation der Konstanten zum Ergebnis. Dabei sucht man die Lösung in der Form der Lösung der homogenen Aufgabe, siehe oben, allerdings wird die Konstante $c$ ’variiert’, d.h. wird zu $c(t)$: $$y(t)=c(t)e^{\int f(t)dt}$$

Nach dem Ableiten von $y(t)$ nach $t$ erhält man

$y^{\prime }(t)=c^{\prime }(t)e^{\int f(t)dt}+\underset{f(t)y(t)}{\underbrace{c(t)f(t)e^{\int f(t)dt}}}$ Gleichzeitig gilt

$y^{\prime }(t)=f(t)y(t)+g(t)$, woraus folgt $$c^{\prime }(t)e^{\int f(t)dt}=g(t).$$

Nach dem Lösen dieser Differentialgleichung nach $c(t)$ erhält man $$c(t)=\int e^{-\int f(t)dt}g(t)dt+const,$$ und insgesammt lautet die Lösungsformel für die inhomogene Differentialgleichung (1.9)

$$y(t)=(\int e^{-\int f(t)dt}g(t)dt+const)e^{\int f(t)dt}$$

Beispiel 1.7 (Totale Differentialgleichung). Eine Differentialgleichung erster Ordnung in der Form $$P(t,y(t))+Q(t,y(t))y^{\prime }(t)=0(1.10)$$

heißt auch totale Differentialgleichung. Diese kann man im Fall $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial t}$ lösen, indem man eine Funktion $𝒰(t,y)$ findet mit $\frac{\partial 𝒰}{\partial t}=P,\frac{\partial 𝒰}{\partial y}=Q$.

In diesem Fall ist die totale Differentialgleichung equivalent zu $$\frac{d}{dt}𝒰(t,y(t))=0,$$

und die Lösung $y(t)$ kann man als Niveaumengen von $𝒰$ finden, $𝒰(t,y(t))=const$.

Autonome Differentialgleichung erster Ordnung

Eine autonome Differentialgleichung erster Ordnung ist eine Differentialgleichung, deren rechte Seite $f:D\to {ℝ}^m$ nicht explizit von der Veränderlichen $t$ abhängt, $$y^{\prime }(t)=f(y(t)).(1.11)$$

Jede nicht autonome Anfangswertaufgabe (1.6) lässt sich in ein System von 2 autonomen Differentialgleichungen mit folgender Transformation umformulieren:
Bezeichne $y_1(t):=t,y_2(t)=y(t)$, dann ist $y^{\prime }=f(t,y)\iff {y_2}^{\prime }=f(y_1,y_2)$. Für die Anfangswerte erhalten wir $y_2(t_0)=y_0,y_1(t_0)=t_0$, und insgesamt ein autonomes Anfangswertsystem $$\begin{array}{c}{\left(\begin{array}{c}{y}_1(t)\\ y_2(t)\end{array}\right)}^{\prime }=\left(\begin{array}{c}1\\ f(y_1(t),y_2(t))\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{y}_1(t_0)\\ y_2(t_0)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{t}_0\\ y_0\end{array}\right).\end{array}$$

Analog lässt sich jedes System von $m$ nicht autonomen Anfangswertaufgaben (1.7) in ein System von $m+1$ autonomen Anfangswertaufgaben umformulieren.

1.2.2 Gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Bei gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung tritt zusätzlich die zweite Ableitung $y^{″}$ auf und deswegen sind sie eindeutig lösbar mit zwei Anfangsbedingungen.

Anfangswertaufgabe zweiter Ordnung

Wir betrachten nun einen Anfangswertproblem in der Form $$y^{″}=f(t,y,y^{\prime }),y(t_0)=y_0,y^{\prime }(t_0)=\overline{y_0}.(1.12)$$

Über die schon bekannte Transformation $y_1(t):=y(t),y_2(t)=y^{\prime }(t)$ kann man diese Differentiagleichung zweiter Ordnung (1.12) in ein System von zwei Differentiagleichungen erster Ordnung umschreiben: $$\begin{array}{c}{\left(\begin{array}{c}{y}_1(t)\\ y_2(t)\end{array}\right)}^{\prime }=\left(\begin{array}{c}{y}_2\\ f(t,y_1(t),y_2(t))\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{y}_1(t_0)\\ y_2(t_0)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{y}_0\\ \overline{y_0}\end{array}\right).\end{array}$$

Ähnlich kann man eine gewöhnliche Differentialgleichung der Ordnung $k$ in ein System von $k$ Differentialgleichungen erster Ordnung umformen und Lösungsmethoden (analytische, wie auch numerische) für die Anfangswertaufgabe von Typ (1.6) anwenden. Einige analytische Lösungsansätze haben wir bereits vorgestellt. In folgendem werden wir numerische Verfahren zur Lösung der Anfangswertaufgaben (1.6) studieren. In der Praxis sind allerdings manchmal spezielle Verfahren für Differentialgleichungen zweiter Ordnung, wie zum Beispiel das Finite-Differenzen-Verfahren für die numerische Lösung von (1.12) besser geeignet.

Randwertaufgabe zweiter Ordnung (RWA)

Bei Randwertaufgaben handelt es sich um Differentialgleichungen, deren Lösung zwei Randbedingungen erfüllen muss, eine am Anfang des Lösungsintervalls, die andere am Ende. Diese Differentialgleichungen modellieren Prozesse, bei welchen der Wert am Ende des Lösungsintervalls wichtig ist, zum Beispiel die Bahn einer Kugel, die aus einem Gewehr geschoßen wird. Hier ist es wichtig, dass die Kugel das Ziel trifft, also einen bestimmten Wert am Ende ihrer Bahn annimmt. Man löse für $t\in (a,b)$ $$y^{″}=f(t,y,y^{\prime }),y(a)=y_a,y(b)=y_b.(1.13)$$

Für Randwertaufgaben kann man die gleichen Lösungsmethoden wie für Anfangswertaufgaben anwenden, in dem man probiert den Randwert $y_b$ mit einer Anfangssteigung $y^{\prime }(a)=s$ zu erreichen, beziehungsweise diese Steigung für das Erreichen des Randwertes $y_b$ anzupassen. Auf diesem Prinzip basiert das sogenannte Schießverfahren.

1.2.3 Partielle Differentialgleichungen

Partielle Differentialgleichungen (PDGl) modellieren zum Beispiel Prozesse, die nicht nur von der Zeit $t\in (t_0,T)$ abhängen, sondern auch von den räumlichen Koordinaten $x\in {ℝ}^n$. Meistens reicht es für die physikalische Beschreibung $n=1,2$ oder $3$ zu betrachten. Für den Fall $n=1$ kann eine zeitabhängige partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung (in $x$) die Form $\frac{\partial u}{\partial t}=f(t,u,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2})$ haben.

Anderseits kann es sich auch um zeitunabhängige (stationäre) Prozesse handeln, die von mehreren Veränderlichen (zum Beispiel von $x=(x_1,x_2)\in {ℝ}^2$) abhängig sind. Partielle Differentialgleichungen sind (analytisch und numerisch) lösbar, wenn passende Rand- und bei instationären Prozessen auch Anfangsbedingungen vorgegeben sind.

Ein wohlbekantes Beispiel einer partiellen Differentialgleichung ist die Wärmeleitungsgleichung, die die Temperaturentwicklung $u(t,x)$ in einem Gebiet oder Raum $\mathrm{\Omega }\subseteq {ℝ}^3,x\in \mathrm{\Omega }$ zur Zeit $t\in (t_0,T)$ modelliert: $$\frac{\partial u}{\partial t}=a\mathrm{\Delta }u,\mathrm{\Delta }u:=(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_2^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_3^2}),a\in ℝ.(1.14)$$

Hier hängt die Konstante $a$ von den physikalischen Eigenschaften des zu erwärmenden Materials, von der Wärmeleitfähigkeit, der Dichte und der Wärmekapazität, ab.

Die Laplace-Gleichung $$\mathrm{\Delta }u=0$$

beschreibt den vereinfachten Fall der stationären Temperaturverteilung, nachdem sich die Temperatur stabilisiert hat und nicht mehr verändert.

Wenn wir bei gewöhnlichen Differentialgleichungen festgestellt haben, das wir nur einen Teil solcher Aufgaben analytisch lösen können, wird die Situation bei partiellen Differentiagleichungen noch schlimmer. Nur für einen kleinen Bruchteil aller partiellen Differentialgleichungen kann man Formeln für die Lösungen angeben, und das auch oft nur in speziellen Gebieten wie Kugel, oder Halbraum ${ℝ}_{+}^n$. Die Bedeutung der numerischen Verfahren für PDGl wird daher hervorgehoben. Dieses Gebiet der numerischen Mathematik ist sehr breit und es findet immer noch aktive Forschung und Entwicklung neuer, effizienterer Verfahren statt.

Ein Beispiel für die Anwendung numerischer Verfahren für gewöhnliche DGl ist die Linien-Methode. Für die Wärmeleitungsgleichung (1.14) im Fall $x\in (a,b)\subset ℝ$ würde man wie folgt vorgehen:
Man teile das Intervall $(a,b)$ in $N$ Teilintervalle $(x_i,x_{i+1}),i=1,\dots N$, wobei $x_0=a,x_N=b$, auf. Man erzeugt damit das (äquidistante) Gitter $\{x_0,x_1,\dots ,x_N\}$ mit der Schrittlänge $h=x_{i+1}-x_i$. Die zweite partielle Ableitung von $u(x_i)$ nach $x$ approximiert man mit Hilfe der Nachbarnknoten $x_{i-1},x_{i+1}$ durch den Differenzenquotienten (diese Approximation werden später genauer erklärt), $$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}(t;x_i)\approx \frac{u(t;x_{i-1})-2u(t;x_i)+u(t;x_{i+1})}{h^2}.$$

Aus der Gleichung (1.14) ergibt sich nach dieser Approximation folgendes System von gewöhnlichen Differentialgleichungen für $y_i(t):=u(t;x_i)$ $$y{\text{'}}_i(t)=a\frac{y_{i-1}(t)-2y_i(t)+y_{i+1}(t)}{h^2}\text{für}i=1,2,\dots N.$$

Ein anderer Zugang ist die sogenante Rothe-Methode die auf der Approximation der Zeitableitung durch den Differenzenquotient $\frac{\partial u}{\partial t}(t,x)\approx \frac{u(t_{i+1})-u(t_i)}{\mathrm{\Delta }t}$ basiert. Hier ist $\{t_0,t_i,\dots t_M\}$ das (äquidistante) Zeitgitter mit $\mathrm{\Delta }t=t_{i+1}-t_i$, und $t_M=T$. Durch diese Approximation entsteht ein System von partiellen DGl für $u(t_{i+1},x)$ in der Form $$\frac{u(t_{i+1})-u(t_i)}{\mathrm{\Delta }t}=a\mathrm{\Delta }u(t_{i+1},x),i=1,2,\dots$$

das man in jedem Zeitschritt $t_1,\dots t_M$ löst.

Nun haben wir einen gewissen Überblick über Differentiagleichungen gewonnen. Bevor wir numerische Methoden zur deren Lösung studieren, werden wir uns zuerst mit der Frage nach der analytischen Lösbarkeit befassen, da diese für die Verifizierung der numerischen Lösungen wichtig ist. Im folgendem Kapitel wird der Schwerpunkt aud die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung der Anfangswertaufgabe (1.6) bzw. des Systems (1.7) gelegt. Das Studium der analytischen Lösbarkeit der Randwertaufgaben und der partiellen Differentialgleichungen benötigt kompliziertere Funktionalanalytische Werkzeuge, die außerhalb des Stoffes dieses Skriptes liegen. Viele Lösbarkeitsfragen, besonders bei nichtlinearen Differentialgleichungen bleiben allerdings bisher offen.