Kurs:Gewöhnliche Differentialgleichungen/2.2 Abhängigkeit der Lösung von Anfangswerten

Abhängigkeit der Lösung von Anfangswerten

Wir betrachten nun zwei Anfangswertaufgaben, die sich nur in den Anfangswerten unterscheiden, $$\begin{array}{ccc}{y}^{\prime }=f(t,y),& & y^{\prime }=f(t,y),\\ y(t_0)=y_0,& & y(t_0)=z_0.\end{array}$$

Sei die Funktion $f$ auf der rechten Seite Lipschitz stetig. Wir bezeichnen die entsprechende Lösungen dieser zwei Aufgaben in Abhängigkeit von den Anfangswerten als $y(t;y_0),z(t;z_0)$. Nun schätzen wir die ${ℝ}^m$-Norm , $m\ge 1$, des Unterschiedes dieser zwei Lösungen mithilfe der Gleichung (2.1), der Dreiecksungleichung der Norm, der Lipschitz-Stetigkeit von $f$ und des Lemmas 2.1 ab, $$\begin{array}{ccc}\Vert y(t;y_0)-z(t;z_0){\Vert }_{{ℝ}^m}& =& {\Vert y_0+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(s,y(s))ds-z_0-\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(s,z(s))ds\Vert }_{{ℝ}^m}\\ & \le & \Vert y_0-z_0{\Vert }_{{ℝ}^m}+{\Vert \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(s,y(s))ds-\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(s,z(s))ds\Vert }_{{ℝ}^m}\\ & \le & \Vert y_0-z_0{\Vert }_{{ℝ}^m}+L\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\Vert y(s)-z(s){\Vert }_{{ℝ}^m}ds.\end{array}$$

Nun benutzen wir das folgende bekannte Lemma

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Lemma 2.2 (Gronwall)

Sei $\varphi :I\to ℝ$ stetig und es gelte für jedes $\alpha ,\beta \ge 0$, dass $$0\le \varphi (t)\le \alpha +\beta \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\varphi (s)ds\mathrm{\forall }t\ge 0.$$ Dann ist $$\varphi (t)\le \alpha e^{\beta (t-t_0)}\mathrm{\forall }t\in I.$$

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Beweis.

Für den Beweis siehe L. Grüne, O. Junge, Gewöhnliche Differentialgleichungen. Eine Verallgemeinerung findet sich z.B. in L.C. Evans, Partial Differential Equations, Appendix B.j, B.k. ◻

Nun bezeichnen wir in obiger Abschätzung $\varphi (s):=\Vert y(s)-z(s){\Vert }_{{ℝ}^m}$, $\alpha :=\Vert y_0-z_0{\Vert }_{{ℝ}^m}$ und $\beta :=L$. Mit Anwendung des Gronwall Lemmas erhalten wir schließlich die Abschätzung $$\Vert y(t;y_0)-z(t;z_0){\Vert }_{{ℝ}^m}\le \Vert y_0-z_0{\Vert }_{{ℝ}^m}{e}^{L(t-t_0)}\le \Vert y_0-z_0{\Vert }_{{ℝ}^m}{e}^{L(T-t_0)}.$$

Diese Abschäzung heißt auch stetige Abhängigkeit der Lösung von den Anfangsdaten und es folgt die Eindeutigkeit für $y_0=z_0.$