Kurs:Funktionentheorie/Übungen/5. Zettel

Übung zur Funktionentheorie

Abgabe bis 15. Dezember 2017, 10:00

Aufgabe (Integrale, 5 Punkte)

Berechne die folgenden Integrale mit Hilfe der Cauchy-Integralformel:

1. $\underset{|z+1|=1}{\int }\frac{dz}{(z+1)(z-1{)}^3}$
2. $\underset{|z|=2}{\int }\frac{\sin z}{z+i}dz$
3. $\underset{|z|=r}{\int }\frac{dz}{(z-a{)}^n(z-b{)}^m}$ mit $|a|<r<|b|$, $n,m\ge 1$.

Aufgabe (Cauchy, 10 Punkte)

Es sei $S^1:=\{z\in 𝐂:|z|=1\}$. Auf $𝐂\setminus S^1$ betrachten wir die Funktion

$f(z):=\underset{S^1}{\int }\frac{d\zeta }{\zeta (\zeta -z)}$

Bestimme $f$. An welchen Punkten von $S^1$ hat $f$ einen Grenzwert?

Aufgabe (mehr Integrale, 5 Punkte)

Nutze die Cauchy-Integralformel, um

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{e}^{k\sin t}\sin (k\sin t)dt$

zu bestimmen.

Tipp: Betrachte $z\mapsto \frac{e^{kz}}{z}$ auf dem Einheitskreis.