Kurs:Funktionentheorie/Übungen/4. Zettel

Übung zur Funktionentheorie

Abgabe bis 1. Dezember 2017, 10:00

Aufgabe (Integrale, 5 Punkte)

Es bezeichne

$\gamma :[0,1]\to 𝐂$

,

$t\mapsto \exp (2\pi it)$

die Standardparametrisierung des Einheitskreises. Bestimme das Integral

$\underset{\gamma }{\int }\frac{1}{z+\frac{1}{2}}dz$

• Tipp*: Nutze die geometrische Reihe, um $\frac{1}{z+\frac{1}{2}}$ in der From $\sum _n{a}_n{z}^{-n}$ darzustellen. Danach integriere gliedweise unter Verwendung der ersten Aufgabe auf dem letzten Zettel.

Aufgabe (Stammfunktionen, 5 Punkte)

Man begründe, dass das es keine Funktion $f:𝐂\to 𝐂$ gibt, für die $f^{\prime }=\mathrm{R}\mathrm{e}$ gilt.

Aufgabe (mehr Integrale, 5 Punkte)

Es sei $R>1$ und ${\gamma }_R$ bezeichne den Halbkreis, bestehend aus $[-R,R]$, gefolgt von $t\mapsto R\exp (it),t\in [0,\pi ]$. Bestimme

$\underset{{\gamma }_R}{\int }\frac{1}{1+z^2}dz$

Aufgabe (Länge, 5 Punkte)

Bestimme die Länge des Einheitskreises, $\gamma :[0,1]\to 𝐂$, $t\mapsto \exp (2\pi it)$.