Kurs:Funktionentheorie/Übungen/2. Zettel/Aufgabe 4

Aufgabe (Kettenregel, 5 Punkte)

Seien $f,g:𝐂\to 𝐂$ stetig differenzierbar. Beweise, dass

$\frac{\partial }{\partial z}(f\circ g)=\frac{\partial f}{\partial z}\circ g\cdot \frac{\partial g}{\partial z}+\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}\circ g\cdot \frac{\partial \overline{g}}{\partial z}$

und

$\frac{\partial }{\partial \overline{z}}(f\circ g)=\frac{\partial f}{\partial z}\circ g\cdot \frac{\partial g}{\partial \overline{z}}+\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}\circ g\cdot \frac{\partial \overline{g}}{\partial \overline{z}}$

gelten.

Lösung

Wir erinnern uns (Fischer/Lieb, Seite 21 unten): Für eine differenzierbare Funktion $f:U\to 𝐂$ sind die partiellen Ableitungen nach $z$ und $\overline{z}$ wie folgt charakterisiert: Sind $A_1,A_2:U\to 𝐂$ stetige Funktionen mit

$f(z)=f(z_0)+A_1(z)(z-z_0)+A_2(z)(\overline{z}-{\overline{z}}_0)$

so ist ${\partial }_{z}f(z_0)=A_1(z_0)$ und ${\partial }_{\overline{z}}f(z_0)=A_2(z_0)$.

Diese Beschreibung der Wirtinger-Ableitungen wollen wir hier benutzen. Sei $z_0\in 𝐂$. Da $g$ in $z_0$ differenzierbar ist, haben wir stetige Funktionen $B_1,B_2$ so dass

$g(z)=g(z_0)+B_1(z)(z-z_0)+B_2(z)(\overline{z}-{\overline{z}}_0)$

gilt. Damit ist

$\begin{array}{cc}(f\circ g)(z)& =f(g(z))\\ & =f(g(z_0)+B_1(z)(z-z_0)+B_2(z)(\overline{z}-{\overline{z}}_0))\end{array}$

Setze nun

$\begin{array}{cc}w& :=g(z_0)+B_1(z)(z-z_0)+B_2(z)(\overline{z}-{\overline{z}}_0)=g(z)\\ w_0& :=g(z_0)\end{array}$

Da $f$ in $w_0$ differenzierbar ist, existieren stetige Funktionen $A_1$, $A_2$ so, dass

$f(w)=f(w_0)+A_1(w)(w-w_0)+A_2(w)(\overline{w}-{\overline{w}}_0)$

Setzen wir ein, ergibt das

$\begin{array}{cc}(f\circ g)(z)& =f(g(z))\\ & =f(g(z_0)+B_1(z)(z-z_0)+B_2(z)(\overline{z}-{\overline{z}}_0))\\ & =f(w_0)+A_1(w)(w-w_0)+A_2(w)(\overline{w}-{\overline{w}}_0)\\ & =f(g(z_0))+A_1(g(z))(B_1(z)(z-z_0)+B_2(z)(\overline{z}-{\overline{z}}_0))+A_2(g(z))\left(\overline{B_1(z)(z-z_0)+B_2(z)(\overline{z}-{\overline{z}}_0)}\right)\\ & =(f\circ g)(z_0)+\underset{C_1(z):=}{\underbrace{\left(A_1\right(g(z))B_1(z)+A_2(g(z)\left)\overline{B_2(z)}\right)}}(z-z_0)+\underset{C_2(z):=}{\underbrace{\left(A_1\right(g(z))B_2(z)+A_2(g(z)\left)\overline{B_1(z)}\right)}}(\overline{z}-{\overline{z}}_0)\end{array}$

Da $C_1$ und $C_2$ als Komposition stetiger Funktionen stetig sind, ist $f\circ g$ partiell differenzierbar und

$\begin{array}{cc}\frac{\partial }{\partial z}(f\circ g)(z_0)& =C_1(z_0)\\ & =A_1(g(z_0))B_1(z_0)+A_2(g(z_0))\overline{B_2(z_0)}\\ & =\frac{\partial f}{\partial z}(w_0)\frac{\partial g}{\partial z}(z_0)+\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}(w_0)\overline{\frac{\partial g}{\partial \overline{z}}(z_0)}\end{array}$

Den letzten Term schauen wir uns noch einmal an. Wenn wir

$g(z)=g(z_0)+B_1(z)(z-z_0)+B_2(z)(\overline{z}-{\overline{z}}_0)$

konjugieren, erhalten wir

$\overline{g}(z)=\overline{g}(z_0)+\overline{B_2(z)}(z-z_0)+\overline{B_1(z)}(\overline{z}-{\overline{z}}_0)$

da die Konjugation ein Körperautomorphismus ist. Wir lesen ab, dass

$\frac{\partial \overline{g}}{\partial z}(z_0)=\overline{\frac{\partial g}{\partial \overline{z}}(z_0)}$ und $\frac{\partial \overline{g}}{\partial \overline{z}}(z_0)=\overline{\frac{\partial g}{\partial z}(z_0)}$

Setzen wir oben fort, folgt damit

$\begin{array}{cc}\frac{\partial }{\partial z}(f\circ g)(z_0)& =C_1(z_0)\\ & =A_1(g(z_0))B_1(z_0)+A_2(g(z_0))\overline{B_2(z_0)}\\ & =\frac{\partial f}{\partial z}(w_0)\frac{\partial g}{\partial z}(z_0)+\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}(w_0)\overline{\frac{\partial g}{\partial \overline{z}}(z_0)}\\ & =\frac{\partial f}{\partial z}(w_0)\frac{\partial g}{\partial z}(z_0)+\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}(w_0)\frac{\partial \overline{g}}{\partial z}(z_0)\\ & =\frac{\partial f}{\partial z}\circ g(z_0)\frac{\partial g}{\partial z}(z_0)+\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}\circ g(z_0)\frac{\partial \overline{g}}{\partial z}(z_0)\end{array}$

wie behauptet. Analog folgt

$\begin{array}{cc}\frac{\partial }{\partial \overline{z}}(f\circ g)(z_0)& =C_2(z_0)\\ & =A_1(g(z_0))B_2(z_0)+A_1(g(z_0))\overline{B_1(z_0)}\\ & =\frac{\partial f}{\partial z}(w_0)\frac{\partial g}{\partial \overline{z}}(z_0)+\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}(w_0)\overline{\frac{\partial g}{\partial z}(z_0)}\\ & =\frac{\partial f}{\partial z}(w_0)\frac{\partial g}{\partial \overline{z}}(z_0)+\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}(w_0)\frac{\partial \overline{g}}{\partial \overline{z}}(z_0)\\ & =\frac{\partial f}{\partial z}\circ g(z_0)\frac{\partial g}{\partial z}(z_0)+\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}\circ g(z_0)\frac{\partial \overline{g}}{\partial \overline{z}}(z_0)\end{array}$