Kurs:Funktionentheorie/Übungen/2. Zettel/Aufgabe 3

Aufgabe (Rechnen mit Polynomen, 5 Punkte)

Wir betrachten ein Polynom $p:𝐂\to 𝐂$, gegeben durch

$p(z)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{0\le \kappa \le k}{0\le \lambda \le \ell }}{a}_{\kappa \lambda }{x}^{\kappa }{y}^{\lambda }$

mit $x=\mathrm{R}\mathrm{e}z$ und $y=\mathrm{I}\mathrm{m}z$. Zeige, dass sich $p$ auch als Polynom in $z$ und $\overline{z}$ darstellen lässt, indem Du die Koeffizienten in

$p(z)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{0\le \mu \le m}{0\le \nu \le n}}{b}_{\mu \nu }{z}^{\mu }{\overline{z}}^{\nu }$

angibst.

Lösung

Für $z=x+iy$ ist $\overline{z}=x-iy$. Lösen wir das Gleichungssystem

$\begin{array}{cc}z& =x+iy\\ \overline{z}& =x-iy\end{array}$

nach $x,y$ auf, erhalten wir $x=\frac{1}{2}(z+\overline{z})$ und $y=\frac{1}{2i}(z-\overline{z})$. Dies setzen wir in $p$ ein, mit dem Binomialtheorem folgt

$\begin{array}{cc}p(z)& =\sum _{\kappa ,\lambda }{a}_{\kappa \lambda }{x}^{\kappa }{y}^{\lambda }\\ & =\sum _{\kappa ,\lambda }{a}_{\kappa \lambda }\frac{1}{2^{\kappa }}(z+\overline{z}{)}^{\kappa }\frac{1}{(2i{)}^{\lambda }}(z-\overline{z}{)}^{\lambda }\\ & =\sum _{\kappa ,\lambda }\frac{a_{\kappa \lambda }}{2^{\kappa +\lambda }{i}^{\lambda }}\sum _{\alpha =0}^{\kappa }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\kappa }{\alpha })z^{\alpha }{\overline{z}}^{\kappa -\alpha }\cdot \sum _{\beta =0}^{\lambda }(-1{)}^{\lambda -\beta }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\lambda }{\beta })z^{\beta }{\overline{z}}^{\lambda -\beta }\\ & =\sum _{\kappa ,\lambda }\sum _{\alpha =0}^{\kappa }\sum _{\beta =0}^{\lambda }\frac{a_{\kappa \lambda }}{2^{\kappa +\lambda }{i}^{\lambda }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\kappa }{\alpha })(-1{)}^{\lambda -\beta }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\lambda }{\beta })z^{\alpha +\beta }{\overline{z}}^{\kappa +\lambda -(\alpha +\beta )}\end{array}$

Nun führen wir eine Indextransformation durch, wir ersetzen die Summation über $\alpha$ durch eine Summation über $\mu :=\alpha +\beta$. Wegen $0\le \alpha \le \kappa ,0\le \beta \le \lambda$ läuft $\mu$ von $0$ bis $\kappa +\lambda$. Für festes $\mu$ müssen wir für $\beta$ die Werte zwischen $0$ und $\lambda$ betrachten, für die $0\le \mu -\beta \le \kappa$, also $\mu -\kappa \le \beta \le \mu$ ist. Daher läuft $\beta$ von $\max (0,\mu -\kappa )$ bis $\min (\mu ,\lambda )$. Wir erhalten

$\begin{array}{cc}p(z)& =\sum _{\kappa ,\lambda }\sum _{\alpha =0}^{\kappa }\sum _{\beta =0}^{\lambda }\frac{a_{\kappa \lambda }}{2^{\kappa +\lambda }{i}^{\lambda }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\kappa }{\alpha })(-1{)}^{\lambda -\beta }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\lambda }{\beta })z^{\alpha +\beta }{\overline{z}}^{\kappa +\lambda -(\alpha +\beta )}\\ & =\sum _{\kappa ,\lambda }\sum _{\mu =0}^{\kappa +\lambda }\sum _{\beta =\max (0,\mu -\kappa )}^{\min (\mu ,\lambda )}\frac{a_{\kappa \lambda }}{2^{\kappa +\lambda }{i}^{\lambda }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\kappa }{\mu -\beta })(-1{)}^{\lambda -\beta }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\lambda }{\beta })z^{\mu }{\overline{z}}^{\kappa +\lambda -\mu }\end{array}$

Nun tauschen wir die Summationsreihenfolge, es ist $0\le \mu \le k+\ell$ und für festes $\mu$ muss stets $\kappa +\lambda \ge \mu$ gelten, d. h. $\lambda \ge \mu -\kappa$, wir erhalten

$\begin{array}{cc}p(z)& =\sum _{\kappa ,\lambda }\sum _{\mu =0}^{\kappa +\lambda }\sum _{\beta =\max (0,\mu -\kappa )}^{\min (\mu ,\lambda )}\frac{a_{\kappa \lambda }}{2^{\kappa +\lambda }{i}^{\lambda }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\kappa }{\mu -\beta })(-1{)}^{\lambda -\beta }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\lambda }{\beta })z^{\mu }{\overline{z}}^{\kappa +\lambda -\mu }\\ & =\sum _{\mu =0}^{k+\ell }\sum _{\kappa =0}^{\mu }\sum _{\lambda =\mu -\kappa }^{\ell }\sum _{\beta =\max (0,\mu -\kappa )}^{\min (\mu ,\lambda )}\frac{a_{\kappa \lambda }}{2^{\kappa +\lambda }{i}^{\lambda }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\kappa }{\mu -\beta })(-1{)}^{\lambda -\beta }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\lambda }{\beta })z^{\mu }{\overline{z}}^{\kappa +\lambda -\mu }\end{array}$

Nun noch eine letzte Indextransformation. Wir ersetzen $\kappa$ durch $\nu :=\kappa +\lambda -\mu$. $\nu$ läuft von $0$ bis $k+\ell$. Für festes $\nu$ ist $\kappa =\nu +\mu -\lambda$. Es sind also nur die Werte von $\lambda$ zulässig, für die $0\le \nu +\mu -\lambda \le \mu$ ist, d. h. $\nu \le \lambda \le \nu +\mu$ gilt. Wir erhalten

$\begin{array}{cc}p(z)& =\sum _{\mu =0}^{k+\ell }\sum _{\kappa =0}^{\mu }\sum _{\lambda =\mu -\kappa }^{\ell }\sum _{\beta =\max (0,\mu -\kappa )}^{\min (\mu ,\lambda )}\frac{a_{\kappa \lambda }}{2^{\kappa +\lambda }{i}^{\lambda }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\kappa }{\mu -\beta })(-1{)}^{\lambda -\beta }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\lambda }{\beta })z^{\mu }{\overline{z}}^{\kappa +\lambda -\mu }\\ & =\sum _{\mu =0}^{k+\ell }\sum _{\nu =0}^{k+\ell }(\sum _{\lambda =\nu }^{\min (\ell ,\nu +\mu )}\sum _{\beta =\lambda -\nu }^{\min (\mu ,\lambda )}\frac{a_{\mu +\nu -\lambda ,\lambda }}{2^{\mu +\nu }{i}^{\lambda }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mu +\nu -\lambda }{\mu -\beta })(-1{)}^{\lambda -\beta }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\lambda }{\beta }))z^{\mu }{\overline{z}}^{\nu }\end{array}$

Also ist

$b_{\mu \nu }=\sum _{\lambda =\nu }^{\min (\ell ,\nu +\mu )}\sum _{\beta =\lambda -\nu }^{\min (\mu ,\lambda )}\frac{a_{\mu +\nu -\lambda ,\lambda }}{2^{\mu +\nu }{i}^{\lambda }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mu +\nu -\lambda }{\mu -\beta })(-1{)}^{\lambda -\beta }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\lambda }{\beta }),0\le \mu ,\nu \le k+\ell$