Kurs:Funktionentheorie/Übungen/1. Zettel

Übung zur Funktionentheorie

Abgabe bis 3. November 2017, 10:15

Aufgabe (Rechnen, 5 Punkte)

Berechne folgende komplexen Zahlen:

1. $(1+4i)\cdot (3+5i)$
2. $\frac{1+4i}{3+5i}$
3. $i^{2018}$
4. $(1+i{)}^8$
5. $(1+i{)}^{2018}$

Aufgabe ("Schreiben", 5 Punkte)

In der Vorlesung wurde besprochen, dass $𝐂$ ein Körper ist. Zeige folgende Rechengesetze für komplexe Zahlen:

1. Assoziativität der Multiplikation $\mathrm{\forall }z,v,w\in 𝐂:(z\cdot v)\cdot w=z\cdot (v\cdot w)$
2. Distributivität der Mulltiplikation über die Addition: $\mathrm{\forall }z,v,w\in 𝐂:(z+v)\cdot w=z\cdot w+v\cdot w$

Aufgabe (Gleichungen, 5 Punkte)

Bestimme alle $z\in 𝐂$, die folgende Gleichungen erfüllen:

1. $(3+i)z+(3+4i)=4+5i$
2. $(2+i)z^2-5iz+i=3$
3. $z^4=-1$

Aufgabe (Differenzieren, 5 Punkte)

Überprüfe, ob folgende Funktionen $𝐂\to 𝐂$ differenzierbar sind. Falls ja, gib ihre Ableitung an.

1. $f:𝐂\to 𝐂,z\mapsto z^2+2$
2. $g:𝐂\to 𝐂,z\mapsto {\left|z\right|}^2$