Kurs:Analysis III/Kapitel II: Grundlagen der Funktionalanalysis/§3 Messbare Mengen

Definition 1

Eine Teilmenge $A\subset X$ nennen wir endlich messbar (oder auch integrierbar), falls ihre charakteristische Funktion ${\chi }_A\in L(X)$ erfüllt. Wir nennen

$\mu (A):=I({\chi }_A)$

das Maß der Menge $A$ bezüglich des Integrals $I$. Die Menge aller messbaren Mengen in $X$ bezeichnen wir mit $𝒮(X)$.

Hilfssatz 1 (σ-Additivität des Maßes)

Sei $\{A_i{\}}_{i=1,2,...}\subset 𝒮(X)$ eine Folge paarweise disjunkter Mengen. Dann gehört auch die Menge

$A:=\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i$

zu $𝒮(X)$ und es gilt

$\mu (A)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (A_i).$

Satz 1 (Stetige Kombination beschränkter L-Funktionen)

Seien $f_k(x)\in L(X),k=1,\dots ,\kappa$ endlich viele beschränkte Funktionen, d. h. es gibt eine Konstante $c\in (0,+\mathrm{\infty })$, so dass die Abschätzung

$|f_k(x)|\le c$ für alle $x\in X$ und alle $k\in \{1,\dots ,\kappa \}$

gilt. Weiter sei $\mathrm{\Phi }=\mathrm{\Phi }(y_1,\dots ,y_{\kappa }):{ℝ}^{\kappa }\to ℝ\in C^0({ℝ}^{\kappa },ℝ)$ gegeben. Dann gehört die Funktion

$g(x):=\mathrm{\Phi }(f_1(x),\dots ,f_{\kappa }(x)),x\in X$

zur Klasse $L(X)$ und ist beschränkt.

Beweis

1. Sei $f:X\to ℝ\in L(X)$ eine beschränkte Funktion. Wir zeigen zunächst, dass dann auch $f^2\in L(X)$ gilt. Wegen $f^2(x)=\{f(x)-\lambda {\}}^2+2\lambda f(x)-{\lambda }^2$ folgt

$f^2(x)\ge 2\lambda f(x)-{\lambda }^2$ für alle $\lambda \in ℝ$

und die Gleichheit gilt nur für $\lambda =f(x)$. Wir können dafür

$f^2(x)=\underset{\lambda \in ℝ}{\sup }(2\lambda f(x)-{\lambda }^2)$

schreiben. Da die Funktion $\lambda \mapsto (2\lambda f(x)-{\lambda }^2)$ für jedes feste $x\in X$ stetig bezüglich $\lambda$ ist, genügt es, das Supremum über die rationalen Zahlen zu bilden. Weiter gilt $\mathbb{Q}=\{{\lambda }_l{\}}_{l=1,2,\dots }$ und es folgt

$f^2(x)=\underset{l\in \mathbb{N}}{\sup }(2{\lambda }_{l}f(x)-{\lambda }_l^2)=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\underset{1\le l\le m}{\max }\right(2{\lambda }_{l}f(x)-{\lambda }_l^2\left)\right).$

Mit

${\phi }_m(x):=\underset{1\le l\le m}{\max }(2{\lambda }_{l}f(x)-{\lambda }_l^2)$

erhalten wir

$f^2(x)=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\phi }_m(x)=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\phi }_m^{+}(x),$

wobei die letzte Gleichheit aus der Positivität von $f^2(x)$ folgt. Da $f\in L(X)$, sind wegen der Linearität und der Abgeschlossenheit bezüglich der Maximumsbildung von $L(X)$ auch die ${\phi }_m$ und somit auch die ${\phi }_m^{+}$ aus $L(X)$. Weiter gilt für alle $x\in X$ und alle $m\in \mathbb{N}$ die Abschätzung

$0\le {\phi }_m^{+}(x)\le f^2(x)\le c$

mit einer Konstante $c\in (0,+\mathrm{\infty })$. Da wegen $f_0(x)\equiv 1\in L(X)$ auch $f_c(x)\equiv c\in L(X)$ gilt, haben die Funktionen ${\phi }_m^{+}$ eine integrable Majorante und der Lebesguesche Konvergenzsatz liefert

$f^2(x)=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\phi }_m^{+}(x)\in L(X).$

2. Sind $f,g\in L(X)$ beschränkte Funktionen, so ist auch $f\cdot g$ eine beschränkte Funktion. Wegen Teil 1 sowie

$fg=\frac{1}{4}(f+g{)}^2-\frac{1}{4}(f-g{)}^2$

gilt dann auch $fg\in L(X)$.

3. Auf dem Quader

$Q:=\{y=(y_1,\dots ,y_{\kappa })\in {ℝ}^{\kappa }:|y_k|\le c,k=1,\dots ,\kappa \}$

können wir die stetige Funktion $\mathrm{\Phi }$ gleichmäßig durch Polynome

${\mathrm{\Phi }}_l={\mathrm{\Phi }}_l(y_1,\dots ,y_{\kappa }),l=1,2,\dots$

approximieren. Wegen Teil 2 sich die Funktionen

$g_l(x):={\mathrm{\Phi }}_l(f_1(x),\dots ,f_{\kappa }(x)),x\in X$

beschränkt und aus der Klasse $L(X)$. Es gilt

$|g_l(x)|\le C$ für alle $x\in X$ und alle $l\in \mathbb{N}$

mit einer festen Konstante $C\in (0,+\mathrm{\infty })$. Da die Funktion $\phi (x)\equiv C\in L(X)$ ist, liefert der Lebesguesche Konvergenzsatz

$g(x):=\mathrm{\Phi }(f_1(x),\dots ,f_{\kappa }(x))=\underset{l\to \mathrm{\infty }}{\lim }{g}_l(x)\in L(X).$

q.e.d.

Hilfssatz 2 (σ-Subadditivität)

Sei $\{A_i{\}}_{i=1,2,...}\subset 𝒮(X)$ eine Folge von Mengen. Dann gehört auch die Menge

$A:=\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i$

zu $𝒮(X)$ und es gilt

$\mu (A)\le \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (A_i)\in [0,+\mathrm{\infty }].$

Definition 2

Ein System $𝒜$ von Teilmengen einer Menge $X$ heißt $\sigma$-Algebra, wenn:

1. $X\in 𝒜$.
2. Mit $B\in 𝒜$ ist auch $B^c=(X\setminus B)\in 𝒜$.
3. Für jede Folge von Mengen $\{B_i{\}}_{i=1,2,\dots }$ aus $𝒜$ liegt auch $\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_i$ in $𝒜$.

Definition 3

Eine Funktion $\mu :𝒜\to [0,+\mathrm{\infty }]$ auf einer $\sigma$-Algebra $𝒜$ heißt Maß, wenn

1. $\mu (\mathrm{\varnothing })=0$
2. $\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_i\right)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (B_i)$ für paarweise disjunkte Mengen $\{B_i{\}}_{i=1,2,\dots }\subset 𝒜$

gilt. Wir nennen das Maß endlich, falls $\mu (X)<+\mathrm{\infty }$ gilt.

Definition 4

Eine Menge $A\subset X$ heißt Nullmenge, falls $A\in 𝒮(X)$ und $\mu (A)=0$ gelten.

Definition 5

Eine Eigenschaft gilt fast überall in $X$ (in Zeichen: f. ü.), wenn es eine Nullmenge $N\subset X$ gibt, so dass diese Eigenschaft für alle $x\in X\setminus N$ richtig ist.

Satz 2 (f. ü.-Endlichkeit von L-Funktionen)

Sei die Funktion $f\in L(X)$ gegeben. Dann ist die Menge

$N:=\{x\in X:|f(x)|=+\mathrm{\infty }\}$

eine Nullmenge.

Beweis

Sei $f\in L(X)$. Dann ist auch $|f|\in L(X)$ und es gibt eine Funktion $h\in V(X)$ mit $0\le |f(x)|\le h(x)$ in $X$ und mit $I(h)<+\mathrm{\infty }$. Weiter ist $h(x)=+\mathrm{\infty }$ in $N$ und damit ist $N$ eine Nullmenge.

q.e.d.

Satz 3 (Allgemeiner Konvergenzsatz von B. Levi)

Sei $\{f_k{\}}_{k=1,2,\dots }\subset L(X)$ eine Folge mit $f_k\uparrow f$ f. ü. in $X$. Weiter gelte $I(f_k)\le c$ für alle $k\in \mathbb{N}$ und eine Konstante $c\in ℝ$. Dann folgen $f\in L(X)$ und

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }I(f_k)=I(f).$

Beweis

Wir betrachten die Nullmengen

$N_k:=\{x\in X:|f_k(x)|=+\mathrm{\infty }\}$ für $k\in \mathbb{N}$

sowie

$N_0:=\{x\in X:f_k(x)\uparrow f(x)\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{t}\}.$

Sei die Nullmenge

$N:=\bigcup _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{N}_k$

erklärt, so ändern wir $f,f_k$ auf $N$ zu 0 ab und erhalten Funktionen ${\tilde{f}}_k\in L(X)$ mit

$I({\tilde{f}}_k)=I(f_k)\le c$ für alle $k\in \mathbb{N}$

und $\tilde{f}$ mit ${\tilde{f}}_k\uparrow \tilde{f}$. Nach Satz 2 aus §2 ist dann $\tilde{f}\in L(X)$ und es gilt

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }I({\tilde{f}}_k)=I(\tilde{f}).$

Es folgt nun $f\in L(X)$ und

$I(f)=I(\tilde{f})=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }I({\tilde{f}}_k)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }I(f_k).$

Satz 4 (Allgemeiner Konvergenzsatz von Fatou)

Sei $\{f_k{\}}_{k=1,2,\dots }\subset L(X)$ eine Funktionenfolge mit $f_k(x)\ge 0$ f. ü. in $X$ für alle $k\in \mathbb{N}$ und es gelte

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}I(f_k)<+\mathrm{\infty }.$

Dann gehört auch die Funktion

$g(x):=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_k(x)$

zu $L(X)$ und es gilt

$I(g)\le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}I(f_k).$

Satz 5 (Allgemeiner Konvergenzsatz von Lebesgue)

Sei $\{f_k{\}}_{k=1,2,\dots }\subset L(X)$ eine Folge mit $f_k\to f$ f. ü. auf $X$ und $|f_k(x)|\le F(x)$ f. ü. in $X$ für alle $k\in \mathbb{N}$, wobei $F\in L(X)$ gilt. Dann folgt $f\in L(X)$ und es gilt

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }I(f_k)=I(f).$