Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen/§3 Die Hyperbelfunktionen

Definition 1 (Hyperbelfunktionen)

Für alle $y\in ℝ$ erklären wir den Cosinus hyperbolicus durch

$\cosh y:=\frac{1}{2}(e^y+e^{-y})=\cos (iy)$,

den Sinus hyperbolicus durch

$\sinh y:=\frac{1}{2}(e^y-e^{-y})=-i\cdot \sin (iy)$,

den Tangens hyperbolicus durch

$\tanh y:=\frac{\sinh y}{\cosh y}=\frac{e^y-e^{-y}}{e^y+e^{-y}}=-i\cdot \tan (iy)$

und den Cotangens hyperbolicus durch

$\coth y:=\frac{\cosh y}{\sinh y}=\frac{e^y+e^{-y}}{e^y-e^{-y}}=i\cdot \cot (iy)$

Satz 1

Die Hyperbelfunktionen sind in $ℝ$ stetig differenzierbar und es gelten für $y\in ℝ$ die folgenden Differentiationsregeln:

(1) $\frac{d}{dy}\cosh y=\sinh y$ und $\frac{d}{dy}\sinh y=\cosh y$

(1) $\frac{d}{dy}\tanh y=\frac{1}{{\cosh }^{2}y}$ und $\frac{d}{dy}\coth y=-\frac{1}{{\sinh }^{2}y},y\ne 0$.

Beweis

Wir beachten die obige Definition der Hyperbelfunktionen durch die trigonometrischen Funktionen. Von den ersten beiden Differentiationsregeln berechnen wir

(2) $\frac{d}{dy}\cosh y=\frac{d}{dy}\cos (iy)=-i\cdot \sin (iy)=\sinh y,y\in ℝ$.

Unter Verwendung von Satz 9 aus §2 ermitteln wir die dritte Differentiationsregel:

(3) $\frac{d}{dy}\tanh y=-i\cdot \frac{d}{dy}\tan (iy)=-i\cdot i\cdot \frac{1}{{\cos }^2(iy)}=\frac{1}{{\cosh }^{2}y},y\in ℝ$.

Satz 2 (Additionstheorem für die Hyperbelfunktionen)

Für alle $y_1,y_2\in ℝ$ gelten die folgenden Identitäten:

(4) $\begin{array}{c}\cosh (y_1+y_2)=\cosh y_1\cdot \cosh y_2+\sinh y_1\cdot \sinh y_2,\\ \sinh (y_1+y_2)=\sinh y_1\cdot \cosh y_2+\cosh y_1\cdot \sinh y_2.\end{array}$

Des Weiteren gilt für alle $y\in ℝ$ die Identität

(5) ${\cosh }^{2}y-{\sinh }^{2}y=1$.

Beweis

Mit dem Additionstheorem berechnen wir von (4) die erste Gleichung:

(6) $\cosh (y_1+y_2)=\cos (i{y}_1+i{y}_2)$

$=\cos (i{y}_1)\cdot \cos (i{y}_2)-\sin (i{y}_1)\cdot \sin (i{y}_2)$

$=\cos (i{y}_1)\cdot \cos (i{y}_2)+[-i\cdot \sin (i{y}_1)]\cdot [-i\cdot \sin (i{y}_2)]$

$=\cosh y_1\cdot \cosh y_2+\sinh y_1\cdot \sinh y_2$ für alle $y_1,y_2\in ℝ$.

Weiter ermitteln wir für alle $y\in ℝ$:

(7) ${\cosh }^{2}y-{\sinh }^{2}y=\cos {(iy{)}^2-(-i{)}^2\sin (iy{)}^2=\cos (iy{)}^2+\sin (iy)}^2=1$.

q.e.d.

Satz 3

Die ungerade Funktion $f:ℝ\to ℝ$ vermöge $y\mapsto f(y)=\sinh y$ ist in $ℝ$ streng monoton steigend und wir haben das asymptotische Verhalten

$\underset{y\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\sinh y=-\mathrm{\infty },\sinh 0=0,\underset{y\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\sinh y=+\mathrm{\infty }$.

Beweis

Wegen der Ungleichung

$f^{\prime }(y)=\cosh y=\frac{1}{2}(e^y+e^{-y})>0,y\in ℝ$

ist die Funktion Sinus hyperbolicus auf $ℝ$ streng monoton steigend. Weiter ist $\sinh$ eine gerade Funktion, da dieses auch für $\sin$ zutrifft und es gilt

$\sinh 0=\frac{1}{2}(e^0-e^0)=0$.

Gemäß §1 ist $\underset{y\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{e}^y=+\mathrm{\infty }$ und $\underset{y\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{e}^{-y}=0$ erfüllt und wir erhalten

$\underset{y\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\sinh y=\frac{1}{2}(\underset{y\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{e}^y-\underset{y\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{e}^{-y})=\frac{1}{2}\underset{y\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{e}^y=+\mathrm{\infty }$.

Aus der Eigenschaft $\sinh (-y)=-\sinh (y),y\in ℝ$ folgen nun alle weiteren Aussagen.

q.e.d.

Satz 4

Die ungerade Funktion $g:ℝ\to ℝ$ vermöge $y\mapsto g(y)=\cosh y$ ist im Intervall $0\le y<+\mathrm{\infty }$ streng monoton steigend und es gilt

$\underset{y\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\cosh y=+\mathrm{\infty }=\underset{y\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\cosh y$ sowie $\cosh 0=1$.

Beweis

Wegen $g^{\prime }\left(y\right)=\sinh y>0$ für alle $y>0$ ist die Funktion Cosinus hyperbolicus im Intervall $[0,+\mathrm{\infty })$ streng monoton steigend. Weiter gilt $\cosh 0=\frac{1}{2}(e^0+e^0)=1$. Da die Cosinusfunktion gerade ist, folgt

$\cosh (-y)=\cosh (y),y\in ℝ$.

Wegen der asymptotischen Eigenschaften der Exponentialfunktion ist die Bedingung

$\underset{y\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\cosh y=\frac{1}{2}(\underset{y\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{e}^y+\underset{y\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{e}^{-y})=\frac{1}{2}\underset{y\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{e}^y=+\mathrm{\infty }$

erfüllt. Schließlich folgt noch $\underset{y\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\cosh y=+\mathrm{\infty }$, denn $g$ ist eine gerade Funktion.

q.e.d.

Satz 5

Die Gesamtheit der reellen Stammfunktionen vom Cosinus hyperbolicus bzw. vom Sinus hyperbolicus sind gegeben durch

(8) $\int \cosh ydy=\sinh +c_1$ und $\int \sinh ydy=\cosh +c_2$

mit den reellen Integrationskonstanten $c_1,c_2\in ℝ$

Satz 6

Für den Tangens hyperbolicus gilt

(9) $\int \tanh ydy=\int \frac{{\cosh }^{\prime }y}{\cosh y}dy=\int (\ln \circ \cosh {)}^{\prime }ydy=\ln (\cosh y)+c,y\in ℝ$

mit der reellen Integrationskonstante $c\in ℝ$.