Kurs:Analysis 1 (TU Dortmund)/§5 Der Körper der komplexen Zahlen

5.3. Gauß'sche Ebene

$z=x+iy$

$\overline{z}:=x-iy$ ist die zu z konjugiert komplexe Zahl.

x= Re z Realteil von z

y= Im z Imaginärteil von z

5.4. Regeln

Re z = $\frac{1}{2}(z+\overline{z})$,

Im z = $\frac{1}{2i}(z-\overline{z})$,

$z*\overline{z}=x^2+y^2$,

$\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$,

$\overline{z*w}=\overline{z}*\overline{w}$,

$\overline{\frac{z}{w}}=\frac{\overline{z}}{\overline{w}}(w\ne 0)$,

$\frac{z}{w}=\frac{z*\overline{w}}{w*\overline{w}}\Rightarrow$ rellen Nenner, insbesondere $\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z*\overline{z}}$

Beweis: ...

5.5. Dreiecksungleichung (in $ℂ$)

$\left|z\right|:=\sqrt{z\overline{z}}=\sqrt{x^2+y^2}$ heißt der Betrag von z.

$|z+w|\le \left|z\right|+\left|w\right|$ (Dreiecksungleichung)

$|\left|z\right|-\left|w\right||\le |z-w|$ (umgekehrte Dreiecksungleichung)

"=" genau dann, wenn $z=0$ oder $w=0$ oder $z\overline{w}\ge 0$

Beweis: ...