Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/5+i

Primfaktorzerlegung von $5+i$ in $\mathbb{Z}[i]$:

$N(5+i)=(5+i)(5-i)=26=2\cdot 13=2^1\cdot (3+2i)(3-2i)$

$3+2i$ und $3-2i$ sind prim, weil $N(3+2i)=N(3-2i)=13$ prim in $\mathbb{Z}$

Überpüfe als nächstes, durch welchen Faktor sich $5+i$ teilen lässt:

$\frac{5+i}{3-2i}=\frac{(5+i)(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)}=\frac{13+13i}{13}=1+i$

$\Rightarrow 5+i=(1+i)\cdot (3-2i)$

Wobei $1+i$ und $3-2i$ prim sind.