Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/3+i

Primfaktorzerlegung von $3+i$ in $\mathbb{Z}[i]$:

$N(3+i)=(3+i)(3-i)=10=2\cdot 5=2^1\cdot (2+i)(2-i)$

$2+i$ und $2-i$ sind prim, weil $N(2+i)=N(2-i)=5$ prim in $\mathbb{Z}$

Überpüfe als nächstes, durch welchen Faktor sich $3+i$ teilen lässt:

$\frac{3+i}{2-i}=\frac{(3+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{5+5i}{5}=1+i$

$\Rightarrow 3+i=(1+i)\cdot (2-i)$

Wobei $1+i$ und $2-i$ prim sind.