Kurs:Analysis II/Kapitel VI: Gewöhnliche Differentialgleichungen/Exakte Differentialgleichungen (§2)

Definition 1

In einer offenen Umgebung $U$ eines Punktes $(x_0,y_0)\in {ℝ}^2$ seien die Funktionen $P(x,y)$ und $Q(x,y)$ der Klasse $C^1(U,ℝ)$ mit der Eigenschaft

(1) $P(x,y{)}^2+Q(x,y{)}^2>0$ für alle Punkte $(x,y)\in U$

gegeben. Unter der Lösung einer regulären Differentialgleichung

(2) $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ für alle Punkte $(x,y)\in U$

verstehen wir eine reguläre Kurve

$X(t)=(x(t),y(t)):I\to U$

auf dem Intervall $I:=[t^{-},t^{+}]$ der Klasse $C^1(I,{ℝ}^2)$, welche die Gleichung

(3) $P(x(t),y(t))x^{\prime }(t)+Q(x(t),y(t))y^{\prime }(t)=0$ für alle Parameter $t\in I$

erfüllt; dabei ist $-\mathrm{\infty }<t^{-}<t^{+}<+\mathrm{\infty }$ richtig.

Bemerkungen

1. Das Lösen der Differentialgleichung (2) bedeutet also, reguläre Kurven

$X(t)=(x(t),y(t)):I\to U$

so zu finden, dass ihr Tangentialvektor

$X^{\prime }(t)=(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t)):I\to U$

orthogonal zum vorgegebenem Vektorfeld $(P(x,y),Q(x,y))$ im Punkt $X(t)=(x(t),y(t))$ steht.
2. Nach eventueller Drehung der $x,y$-Ebene können wir die Lösungskurve lokal in der Form

$X(x)=(x,y(x)),x\in [x^{-},x^{+}]:=I$

darstellen. Wir erhalten dann die Differentialgleichung

$P(x,y(x))+Q(x,y(x))y^{\prime }(x)=0$ für alle $x\in I$.

Falls $Q\ne 0$ erfüllt ist, erscheint letztere äquivalent zur folgenden expliziten Differentialgleichung erster Ordnung

(4) $y^{\prime }(x)=-\frac{P(x,y(x))}{Q(x,y(x))}=:f(x,y(x)),x\in I$.

3. Auch wenn die Lösungskurve nicht als Graph über der $x,y$-Ebene darstellbar ist, behält die Differentialgleichung (2) ihre Bedeutung.

Definition 2

Ist in einem Punkt $(x_0,y_0)\in U$ die Gleichung

$(P(x_0,y_0),Q(x_0,y_0))=(0,0)$

erfüllt, so nennen wir $(x_0,y_0)$ einen singulären Punkt der Differentialgleichung (2).

Definition 3

Die reguläre Differentialgleichung (2)

$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ in $U$

heißt exakt, wenn das Vektorfeld

$V(x,y):=(P(x,y),Q(x,y)):U\to {ℝ}^2$

auf der offenen Menge $U$ eine Stammfunktion $F:U\to ℝ$ der Klasse $C^2(U)$ mit der Eigenschaft

$V=gradF$ in $U$

besitzt. Dann gilt also

(5) $F_x(x,y)=P(x,y)$ und $F_y(x,y)=Q(x,y)$ für alle $(x,y)\in U$.

Satz 1

Sei die reguläre, exakte Differentialgleichung (2) in der offenen Menge $U\subset {ℝ}^2$ mit der Stammfunktion $F=F(x,y)\in C^2(U)$ gegeben. Dann ist die reguläre Kurve

$X(t)=(x(t),y(t)):I\to U$

auf dem Intervall $I:=[t^{-},t^{+}]$ der Klasse $C^1(I,{ℝ}^2)$ eine Lösung der Differentialgleichung genau dann, wenn

$F(x(t),y(t))=const$ für alle $t\in I$

gilt.

Beweis

1. Sei $X(t)=(x(t),y(t)):I\to U$ auf dem Intervall $I:=[t^{-},t^{+}]$ eine Lösung der Differentialgleichung (2). Dann folgt

$\begin{array}{c}0=P(x(t),y(t))x^{\prime }(t)+Q(x(t),y(t))y^{\prime }(t)\\ =F_x(x(t),y(t))x^{\prime }(t)+F_y(x(t),y(t))y^{\prime }(t)=\frac{d}{dt}F(x(t),y(t)).\end{array}$

Also folgt

$F(x(t),y(t))=const$ für alle $t\in I$.

2. Sei

$F(x(t),y(t))=const$ für alle $t\in I$

erfüllt. Dann erhalten wir durch Differentiation

$0=F_x(x(t),y(t))x^{\prime }(t)+F_y(x(t),y(t))y^{\prime }(t)=P(x(t),y(t))x^{\prime }(t)+Q(x(t),y(t))y^{\prime }(t)$.

Somit löst $X(t)$ die Differentialgleichung (2).

q.e.d.

Satz 2 (Integrabilitätsbedingung)

Seien der Punkt $(x_0,y_0)\in {ℝ}^2$ und das Rechteck

$U:=\{(x,y)\in {ℝ}^2:x\in (x_0-\alpha ,x_0+\alpha ),y\in (y_0-\beta ,y_0+\beta )\}$

mit den halben Kantenlängen $\alpha ,\beta >0$ gegeben. Weiter sei die reguläre Differentialgleichung

$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ für alle $(x,y)\in U$

auf diesem Rechteck erklärt. Dann ist diese Differentialgleichung genau dann exakt, wenn die Integrabilitätsbedingung

(6) $Q_x(x,y)=P_y(x,y)$ in $U$

erfüllt ist.

Beweis

1. Sei die Funktion (2) exakt in $U$. Gemäß Definition 3 existiert dann eine Stammfunktion $F:U\to ℝ$ der Klasse $C^2(U)$ mit der Eigenschaft

$F_x(x,y)=P(x,y)$ und $F_y(x,y)=Q(x,y)$ für alle $(x,y)\in U$

Wir erhalten die Identität

$Q_x(x,y)=F_{xy}(x,y)=F_{yx}(x,y)=P_y(x,y)$ für alle $(x,y)\in U$

und somit

$Q_x(x,y)=P_y(x,y)$ für alle $(x,y)\in U$.

2. Sei $Q_x(x,y)=P_y(x,y)$ in $U$ erfüllt. Wir erklären nun die Funktion

$F(x,y):=\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}P(t,y_0)dt+\underset{y_0}{\overset{y}{\int }}Q(x,t)dt$ für alle $(x,y)\in U$.

Wir differenzieren dann nach der oberen Grenze und erhalten

$F_x(x,y)=P(x,y_0)+\underset{y_0}{\overset{y}{\int }}{Q}_x(x,t)dt=P(x,y_0)+\underset{y_0}{\overset{y}{\int }}{P}_y(x,t)dt$

$=P(x,y_0)+(P(x,y)-P(x,y_0))=P(x,y)$ in $U$.

Weiter gilt

$F_y(x,y)=Q(x,y)$ in $U$.

Damit folgt $F(x,y)\in C^2(U)$ und

$\mathrm{\nabla }F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$ in $U$.

3. Wir berechnen nun noch

$\frac{d}{dx}\underset{y_0}{\overset{y}{\int }}Q(x,t)dt=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{1}{\epsilon }\{\underset{y_0}{\overset{y}{\int }}Q(x+\epsilon ,t)dt-\underset{y_0}{\overset{y}{\int }}Q(x,t)dt\}$

$=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\{\frac{1}{\epsilon }\underset{y_0}{\overset{y}{\int }}[Q(x+\epsilon ,t)-Q(x,t)]dt\}$.

Unter Beachtung des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung folgt mit einem Zwischenwert ${\epsilon }_t\in (0,\epsilon )$ für jedes $t\in [y_0,y]$ die Identität

$\frac{d}{dx}\underset{y_0}{\overset{y}{\int }}Q(x,t)dt=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\{\frac{1}{\epsilon }\underset{y_0}{\overset{y}{\int }}\epsilon Q_x(x+\epsilon ,t)dt\}$

$=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\{\underset{y_0}{\overset{y}{\int }}{Q}_x(x+{\epsilon }_t,t)dt\}=\underset{y_0}{\overset{y}{\int }}{Q}_x(x,t)dt$.

Da $Q_x(x+{\epsilon }_t,t)$ gleichmäßig auf dem Intervall $[y_0,y]$ für $\epsilon \to 0$ gegen die Funktion $Q_x(x,t)$ konvergiert, kann nach Satz 2 aus Kapitel V, §6 die Integration mit dem Limes vertauscht werden.

q.e.d.

Bemerkungen

1. Wir haben die Stammfunktion $F$ durch Integration über einen bestimmten rechteckigen Weg erhalten. Wir erhalten auch eine Stammfunktion durch die folgende Integration:

$F(x,y)=\underset{y_0}{\overset{y}{\int }}Q(x_0,t)dt+\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}P(t,y)dt$.

Wenn wir die Theorie der Kurvenintegrale zur Hilfe nehmen, kann man die Stammfunktion auch durch Integration über einen beliebigen Weg in $U$ vom Punkt $(x_0,y_0)$ zum Punkt $(x,y)$ berechnen. Dann kann man Satz 2 auch auf beliebige einfach zusammenhängende Gebiete verallgemeinern. Wir können die nichtlinearen Gleichungen aber nur lokal lösen und somit reichen Rechtecke hier aus!
2. Die Stammfunktion $F(x,y)$ ist bis auf eine Konstante bestimmt.
3. Man berechnet die Stammfunktion durch unbestimmte Integration wie folgt: Wir integrieren die erste Gleichung in (5) und erhalten

$F(x,y)=\int P(t,y)dt+\varphi (y)$.

Dann bestimmen wir mit der zweiten Gleichung die Funktion $\varphi (y)$ aus der Identität

${\varphi }^{\prime }(y)=F_y(x,y)-\frac{d}{dy}\{\int P(t,y)dt\}=Q(x,y)-\frac{d}{dy}\{\int P(t,y)dt\}$.

Entsprechend können wir zunächst die zweite Gleichung in (5) integrieren und dann die erste heranziehen.

Wir betrachten nun auf dem Rechteck $U\subset {ℝ}^2$ beliebige reguläre Differentialgleichungen der Gestalt

(7) $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ für alle $(x,y)\in U$.

Auch wenn diese Differentialgleichung nicht exakt ist, erwarten wir anschaulich, dass sie in einem hinreichend kleinen Rechteck um den Punkt $(x_0,y_0)$ eine Lösung besitzt. Wir multiplizieren (7) mit einer nullstellenfreien Funktion

$M(x,y):U\to ℝ$ der Klasse $C^1(U)$

und erhalten die Differentialgleichung

(8) $M(x,y)P(x,y)dx+M(x,y)Q(x,y)dy=0$ für alle $(x,y)\in U$.

Offensichtlich haben die Probleme (7) und (8) die gleichen Lösungskurven. Falls (7) keine exakte Differentialgleichung darstellt, wollen wir nun den Multiplikator so wählen, dass die Differentialgleichung (8) exakt wird.

Definition 4

Die Funktion

$M(x,y):U\to ℝ\in C^1(U)$ mit $M(x,y)\ne 0$ für alle $(x,y)\in U$

heißt Eulerscher Multiplikator oder integrierender Faktor der Differentialgleichung (7), falls die Differentialgleichung (8) exakt ist. Auf dem Rechteck $U$ gilt dann die Beziehung

(9) $0=[M(x,y)P(x,y){]}_y-[M(x,y)Q(x,y){]}_x=M_{y}P-M_{x}Q+M(P_y-Q_x)$

bzw.

(10) $0=\frac{M_x}{M}Q-\frac{M_y}{M}P+(Q_x-P_y)=[\log M(x,y){]}_{x}Q-[\log M(x,y){]}_{y}P+(Q_x-P_y)$.

Beispiel 1: Multiplikator der Form $M=M(x)$

In diesem Spezialfall wird aus (9) die homogene, lineare, gewöhnliche Differentialgleichung

$M_{x}Q+M(Q_x-P_y)=0$,

die folgendermaßen gelöst werden kann: Wir integrieren die Identität

$[\log M(x){]}_x=\frac{M_x}{M}=\frac{P_y-Q_x}{Q}$

und erhalten

$\log M(x)=\int \frac{P_y-Q_x}{Q}dx$

bzw.

$M(x)=\exp (\int \frac{P_y-Q_x}{Q}dx)$.

Entsprechend finden wir einen Multiplikator der Form $M=M(y)$, falls dieser existiert.