Mathematische Modellbildung des Aufschlags beim Tennis

Allgemeine Informationen

Hintergrund dieses Wikis

Diesem Artikel liegt eine Bachelorarbeit im Fach Mathematik an der Universität Landau zu Grunde. Ziel ist es diese Arbeit in ihren Grundzügen in diesem Wiki darzulegen und dabei vor allem dazu beizutragen, dass die in Wikiversity verankerte Community weiter wächst und Resultate und Lösungswege veröffentlich werden. An einigen Stellen wird sich dieses Wiki auf eben jenes Werk beziehen, in dem alle Aspekte weiter vertieft werden. Darüber hinaus baut diese Arbeit auf dem Artikel: Tennis: Das perfekte Ass auf. Dieses Wiki wurde im Rahmen des Kurses "Mathematische Modellbildung" erstellt. Der Bearbeitungsschwerpunkt wurde aufgrund des persönlichen Interesses am Thema Tennis entsprechend ausgewählt.

Der Titel der Bachelorarbeit lautet überdies "Das perfekte Ass" mit dem Untertitel "Mathematische Modellbildung des Aufschlags beim Tennis". Zitate der Bachelorarbeit sollen der Einfachheit halber in dem vorliegenden Wiki nicht als solche gekennzeichnet werden. Bei Interesse lässt sich die Arbeit unter Hier noch Link einfügen finden. Unter dem Archiv lassen sich auch die im Zuge der Modellierung generierten Dateien finden.

Motivation

Das primäre Ziel der Bachelorarbeit ist es, einen theoretischen Beitrag zum Verständnis eines "perfekten Tennisaufschlags" zu liefern und überhaupt zu deklarieren, wie ein solcher definiert werden könnte. Hintergrund dessen ist zudem, dass gerade im Bereich des Profisports eine taktische und damit auch theoretische Vorarbeit immer wichtiger wird, da viele der Topspieler nahezu auf einem Niveau agieren.

Der konkrete Inhalt der Arbeit bezieht sich auf die Frage, wie Wahrscheinlichkeitsverteilungen beim Tennis aussehen und ob es möglich ist, diese anhand von realen Erprobungen mathematisch darzustellen. Es Gliedern sich folgende Teilfragen an:

1. Wie unterscheiden sich diese Verteilungen bei Spielern verschiedener Niveaustufen?
2. Welche Aspekte der Modellierung lassen sich in den Tennissport integrieren?

Es wird nun noch stichpunktartig auf die wesentliche Gliederung der Arbeit eingegangen.

• Überblick über den aktuellen Modellierungsstand (Bezug auf Tennis: Das perfekte Ass und Vorstellung der dort genutzten fachmathematischen Werkzeuge)
• Theorie - Einführung in die notwendigen wahrscheinlichkeitstheoretischen Begriffe
• Methodik - Platzvorbereitung, Probandenwahl, Datengenerierung auf Basis realer Erprobungen und Aufbereitung der gewonnenen Daten mit diversen mathematischen Hilfsprogrammen
• Ergebnisse und Fazit (inklusive Fehlerbetrachtung)

Aktueller Stand - Vorangegangene Modellierung

Grundlegende Problemstellung war es herauszufinden, welche Faktoren die Entstehung eines Asses, also eines direkten Punktes beim Aufschlag, beeinflussen. Aus diesem Grund wurden unterschiedlichste Faktoren in ein Modell, welches den Sachverhalt genauer beleuchtet eingearbeitet.

Diese Faktoren wurden im Zuge dessen in interne und externe Faktoren untergliedert. Also solche, die den Spieler an sich und dessen körperliche Gegebenheiten betreffen und andererseits solche Aspekte, auf die der Spieler zum Zeitpunkt des Aufschlags keinen Einfluss hat.

Interne Faktoren

• Größe des Spielers
• Punkt in der Luft, an dem der Ball getroffen wird
• Platzierung des Balls

Externe Faktoren

• Luftwiderstand
• Belag des Platzes
• Stellung des Gegenspielers

Mathematischer Modellbildungszyklus

Eben jener stellte eine Grundlage dar, um zu verstehen, wie mathematische Modellbildung funktioniert. Er ist genauer in Kurs:Mathematische Modellbildung dargestellt. Ausgehend von einer Realsituation wird ein Modellierungsproblem entwickelt, welches den Modellbildungszyklus (meistens mehrfach) durchläuft. In jedem neuen Zyklus werden neue Aspekte berücksichtigt, wodurch das Modell stets weiter komplettiert wird.

Modellbildungszyklen

Sind gegebenenfalls unter dem bereits verlinkten Wiki Tennis: Das perfekte Ass detaillierter nachzulesen und werden an dieser Stelle nur grob vorgestellt um einen Überblick zu schaffen, was zum Zeitpunkt dieser Arbeit bereits erarbeitet wurde.

Zyklus 1

Wird an dieser Stelle nur sehr oberflächlich und der Vollständigkeit halber vorgestellt. Konzipiert wurde er für die Sekundarstufe 1, sodass hier nur mathematische Modelle verwendet werden, die bis zur zehnten Klasse von Schülerinnen und Schülern erlernt werden können.

Konkret wurde in diesem Zyklus eine Simulation in "GeoGebra" erstellt, die die Flugbahn des Tennisballs durch eine lineare Funktion approximiert. Der Aufschlag wird dabei seitlich betrachtet. In der Simulation können die Größe und damit der Treffpunkt des Balls und der sogenannten Höhenwinkel HIER VERWEIS AUF EIN BILD! variiert werden, was eine Veränderung der linearen Funktion bewirkt. Insgesamt wird in diesem Zyklus lediglich mithilfe der Geschwindigkeit und des vom Tennisball zurückgelegten Wegs eine Idee vermittelt, welche Zeitspanne der Ball vom aufschlagenden Spieler bis zum Gegenspieler benötigt.

Zyklus 2

Dieser Zyklus lässt sich in unterschiedliche Phasen unterteilen

1. Konstruktion des Höhenwinkels
2. Datenerfassung von realen Aufschlägen und deren Darstellung
3. Simulationserstellung, die gegenüber der in Zyklus 1 vorgestellten Simulation weitere Aspekte berücksichtigt

Datenerfassung

Durch eine Rasterung des Aufschlagfeldes und der anschließenden Auswertung von Videomaterial, lässt sich eine absolute - und relative Häufigkeit für die einzelnen Raster bestimmen. Die vorgenommene Rasterung führt jedoch dazu, dass mit den gewonnenen Daten keinerlei wahrscheinlichkeitstheoretische Untersuchungen durchgeführt werden können. Lediglich Tendenzen, wo die Aufschläge verstärkt aufkommen, lassen sich anhand der generierten Daten ableiten.

Konstruktion der Simulation

Mathematisches Hauptwerkzeug dieses Zyklus ist die sogenannte explizite Bahngleichung, die aus der vektoriellen Bahngleichung hergeleitet wird. Resultat dieses Zyklus ist eine Simulation, die den Horizontalwinkel (AUCH HIER BILD!), der maßgeblich für die Platzierung des Balls verantwortlich ist, berücksichtigt. Ein sogenannter glatter Aufschlag (Aufschlag ohne Schnitt) lässt sich durch die Veränderung einiger Parameter mit Hilfe der erstellten Simulation darstellen.

Zyklus 3

Beschäftigt sich vordergründig mit den Kräften, die während des Flugs auf den Ball wirken. Dazu zählen beispielsweise die Erdanziehungskraft oder der Luftwiderstand. Erstere wurde bereits in Zyklus 2 berücksichtigt. In Zyklus 3 wird durch die Anwendung einer Differentialgleichung die Luftwiderstandskraft, die entgegengesetzt zu Bewegungsrichtung des Balls wirkt, in das Modell integriert. Die Anwendung einer Differentialgleichung führt dazu, dass jeweils Geschwindigkeiten für Zeitintervalle ermittelt werden, aus denen dann die Bewegung in x- und y-Richtung berechnet werden kann. Insgesamt lässt sich aufgrund dessen numerisch bestimmen, zu welchem Zeitpunkt der Ball den Boden berührt hat. Es lässt sich somit die Geschwindigkeitsabnahme des Balls während des Flugs bestimmen und die Gesamtzeit, die dem Gegenspieler nach dem Aufschlag zur Positionierung und Vorbereitung des Rückschlags zur Verfügung steht, erreicht realistischere Werte.

Neue Forschungsinhalte

Mehr soll an dieser Stelle nicht über die vorangegangene Modellierung erläutert werden, da die einzelnen Konstruktionsschritte und fachmathematischen Hintergründe auf der zuvor verlinkten Wikiversity-Instanz genauer nachgelesen werden können.

Bevor an dieser Stelle mit der Theorie fortgefahren wird, wird an dieser Stelle nochmals auf das übergeordnete Ziel der Arbeit und damit auch dieser Wiki-Instanz verwiesen: Anhand von realen Versuchsdurchführung werden Wahrscheinlichkeitsverteilungen generiert, möglichst anschaulich aufbereitet und anschließend miteinander verglichen. Die Modellierung der Flugbahn ist also nicht mehr primäres Ziel, sondern viel eher die Platzierung des Balls, wie diese in der Realität aussieht und in Bezug auf unterschiedliche Spieler voneinander abweicht.

Theorie

Es erfolgt eine Vorstellung der wichtigsten, fachmathematischen Begriffe und einer anschließenden Interpretation, inwieweit diese in der Modellierung im Methodenteil genutzt werden.

Der Einfachheit halber wird im folgenden Abschnitt auf die Zitation der Seitenzahl verzichtet, diese lässt sich exakt in der bereitgestellten Arbeit nachvollziehen.

Zufällige Ereignisse

Zufallsexperimente beschreiben Situationen, in "denen eines von mehreren möglichen Ergebnissen eintreten" kann. Alle möglichen Ergebnisse werden in der Ergebnismenge $\mathrm{\Omega }$ zusammengefasst.

$Ergebnismenge\mathrm{\Omega }=\{\omega |\omega istErgebnisdesZufallsexperiments\}$

Definition Zufallsexperiment Test