Kryptologie/Erweiterter euklidischer Algorithmus

Einleitung

Kongruenz, Teilbarkeit und Teilerfremdheit
Kongruenz
Seien $a, b \in ℤ$ und $m \in ℕ$ , dann gilt $a \equiv b mod m \Leftrightarrow m ∣ (a - b)$ ^[1].
Teilbarkeit
Eine ganze Zahl $a$ teilt eine ganze Zahl $b$ genau dann, wenn es eine ganze Zahl $n$ gibt, für die $a \cdot k = b$ ist. Wir schreiben $a ∣ b$ ^[2]^[3].
Teilerfremdheit
Zwei ganze Zahlen $a$ und $b$ , wobei mindestens einer der beiden Zahlen ungleich Null ist, heißen teilerfremd, wenn $g g T (a, b) = 1$ ^[4]. Betrachten wir mehr als zwei Zahlen, dann nennen wir diese paarweise teilerfremd, wenn je zwei beliebige von diesen Zahlen zueinander teilerfremd sind^[5]^[4].

Bei der Schlüsselerzeugung des RSA-Kryptosystems muss das multiplikative Inverse von $e$ mit $e \cdot d \equiv 1 mod φ (N)$ bestimmt werden. Wir können hierzu den erweiterten euklidischen Algorithmus nutzen, denn dieser berechnet das multiplikative Inverse in ganzzahligen Restklassenringen^[6]^[7].

In einem ersten Schritt bestimmt der Algorithmus hierfür den größten gemeinsamen Teiler $ggT (a, b)$ zweier natürlicher Zahlen $a$ und $b$ . Anschließend werden in einem zweiten Schritt zwei ganze Zahlen $s$ und $t$ , welche die folgende Gleichung erfüllen^[6]:

$ggT (a, b) = s \cdot a + t \cdot b$ ^[6].

Angewandt auf das RSA-Verschlüsselungsverfahren können wir so das multiplikative Inverse von $e$ bestimmen, da wir $e \cdot d \equiv 1 mod φ (N)$ in $ggT (e, φ (N)) = e \cdot d + k \cdot φ (N)$ umformen können^[8].

Die Umformung erfolgt mittels Definition von Kongruenz und Teilbarkeit:

$e \cdot d \equiv 1 mod φ (N)$

$\Leftrightarrow φ (N) ∣ (e \cdot d - 1)$ , nach Definition der Kongruenz

$\Leftrightarrow φ (N) \cdot (- k) = e \cdot d - 1$ , nach Definition der Teilbarkeit

$\Leftrightarrow 1 = e \cdot d + k \cdot φ (N)$ , wobei $g g T (e, φ (N)) = 1$ nach Voraussetzung des RSA-Kryptosystem $e$ teilerfremd zu $φ (N)$

Erweiterter Euklidischer Algorithmus

Der erweiterte euklidische Algorithmus wird auf zwei Zahlen $a, b \in ℕ$ angewandt und besteht aus zwei Teilen:

Berechnung des $ggT (a, b) = s \cdot a + t \cdot b$ (auch als euklidischer Algorithmus bekannt^[9])
Berechnung zweier ganzer Zahlen $s$ und $t$ , welche die Gleichung $ggT (a, b) = s \cdot a + t \cdot b$ erfüllen^[10]

Zu Teil 1: Berechnung des $ggT (a, b)$

Größte gemeinsame Teiler, Lemma 1 des $g g T$ , Division mit Rest und Lemma 2 des $g g T$
Größte gemeinsame Teiler
Seien $a, b \in ℤ$ , wobei mindestens eine der beiden Zahlen ungleich Null. Wir bezeichnen $d : = g g T (a, b)$ mit $d \in ℕ$ als den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen $a$ und $b$ , falls gilt: $(1)$ : $d ∣ a$ und $d ∣ b$ und $(2)$ : Für alle $c \in ℤ$ mit $c ∣ a$ und $c ∣ b \Rightarrow c \leq d$ ^[11].
Lemma 1 des $g g T$
Seien $a, b \in ℤ$ , wobei nicht $a = b = 0$ . Es gilt $g g T (\| a \|, \| b \|) = g g T (a, b)$ ^[12].
Division mit Rest
Seien $a, b \in ℤ$ mit $b \neq 0$ eindeutig bestimmte Zahlen $k \in ℤ$ und $r \in ℕ$ gibt, für die gilt: $a = k \cdot b + r, 0 \leq r < \| b \|$ ^[13]^[14].
Lemma 2 des $g g T$
Seien $a, b, k, r \in ℤ$ und $a = k \cdot b + r$ , dann folgt: $g g T (a, b) = g g T (b, r)$ ^[15].

Betrachten wir zunächst die Berechnung des $ggT (a, b)$ .

Wir haben bei der formalen Einführung des $ggT$ bereits gezeigt, dass nach Lemma 1 des $g g T$ $g g T (∣ a ∣, ∣ b ∣) = g g T (a, b)$ und setzen daher voraus, dass $0 < b \leq a$ gilt.

Wir können die Division mit Rest auf $a$ und $b$ anwenden und erhalten

$a = k_{1} \cdot b + r_{1}$ , mit $0 \leq r_{1} < | b |$ .

Nun unterscheiden wir zwei Fälle:

$(1.1)$ $r_{1} = 0$ , dies ist die Abbruchbedingung und wir sind mit Teil 1 fertig
$(1.2)$ $r_{1} \neq 0$ und wir müssen fortfahren.

Im ersten Fall $r_{1} = 0$ teilt die Zahl $b$ die Zahl $a$ mit $a = k_{1} \cdot b + 0$ , es gilt $ggT (a, b) = b$ und wir sind mit dem ersten Teil des erweiterten euklidischen Algorithmus fertig.

Im zweiten Fall $r_{1} \neq 0$ wenden wir die Division mit Rest auf $b$ und $r_{1}$ an und erhalten $b = k_{2} \cdot r_{1} + r_{2}$ mit $0 \leq r_{2} < r_{1}$ . Es ergeben sich erneut zwei Fälle: $r_{2} = 0$ und $r_{2} \neq 0$ .

Tritt der erste Fall "Rest der Gleichung ist Null" ein, so verfahren wir analog zum $r_{1} = 0$ und erhalten den gesuchten $ggT (a, b)$ mit $ggT (a, b) = r_{1}$ , da nach Lemma 2 des $g g T$ gilt: $ggT (a, b) = ggT (b, r_{1})$ .

Andernfalls verfahren wir analog zu dem obigen Fall $r_{1} \neq 0$ .

Wir folgen diesem Schema $n$ -mal, bis wir ein $r_{n}$ mit $r_{n} = 0$ berechnen und das Verfahren abgebrochen wird.

Somit erhalten wir $ggT (a, b) = ggT (r_{n - 1}, r_{n}) = ggT (r_{n - 1}, 0) = r_{n - 1}$ ^[16].

Dies lässt sich besonders gut anhand eines Beispiels nachvollziehen.

Beispiel Berechnung des $ggT (a, b)$

Seien $a = 24$ und $b = 11$ .

Nach der Division mit Rest gilt:

Gleichung 1: $24 = 2 \cdot 11 + 2$ , Fall $(1.2)$

Gleichung 2: $11 = 5 \cdot 2 + 1$ , Fall $(1.2)$

Gleichung 3: $2 = 2 \cdot 1 + 0$ , Fall $(1.1)$

Es gilt $ggT (24, 11) = 1$ .

Zu Teil 2: Berechnung der ganzzahligen Koeffizienten $s$ und $t$

Größte gemeinsame Teiler, Lemma von Bézout
Größte gemeinsame Teiler
Seien $a, b \in ℤ$ , wobei mindestens eine der beiden Zahlen ungleich Null. Wir bezeichnen $d : = g g T (a, b)$ mit $d \in ℕ$ als den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen $a$ und $b$ , falls gilt: $(1)$ : $d ∣ a$ und $d ∣ b$ und $(2)$ : Für alle $c \in ℤ$ mit $c ∣ a$ und $c ∣ b \Rightarrow c \leq d$ ^[11].
Lemma von Bézout
Für alle $a, b \in ℤ$ existieren $s, t \in ℤ$ , sodass gilt: $g g T (a, b) = s \cdot a + t \cdot b$ ^[17]^[18].

Aus der Berechnung des $ggT (a, b)$ wissen wir, dass

$ggT (a, b) = b$ für $n = 1$ Durchführungen und $b \leq a$

oder

$ggT (a, b) = r_{n - 1}$ für $n > 1$ Durchführungen

des Schemas aus Teil 1 ist.

Es gilt nach dem Lemma von Bézout $g g T (a, b) = r_{n - 1} = s \cdot a + t \cdot b$ .

Wurde zur Berechnung des $ggT (a, b)$ nur die Gleichung $a = k_{1} \cdot b + r_{1}$ benötigt, so ist $r_{1} = 0$ und wir können die ganzzahligen Koeffizienten $s = 1$ und $t = k_{1}$ aus der Gleichung ablesen.

Andernfalls müssen wir durch das Einsetzen der Informationen aus den Gleichungen, die man bei der Berechnung des $ggT (a, b)$ berechnet hat, die Gleichung $r_{n - 1} = s \cdot a + t \cdot b$ erzeugen.

Allgemein ergeben sich drei Fälle:

$(2.1)$ die Gleichung enthält $a$ und $b$ in der Form $r_{n - 1} = ggT (a, b) = s \cdot a + t \cdot b$ bzw. wird in diese Form umgestellt
$(2.2)$ die Gleichung beinhaltet genau einen der beiden vorausgesetzten Zahlen $a$ und $b$
$(2.3)$ die Gleichung enthält weder $a$ noch $b$ .

Im ersten Fall $(2.1)$ sind die ganzzahligen Koeffizienten der Zahlen $a$ bzw. $b$ genau $s$ bzw. $t$ und können, nach geeigneter Umstellung, in die Form $r_{n - 1} = ggT (a, b) = s \cdot a + t \cdot b$ abgelesen werden. Das Verfahren wird daraufhin abgebrochen.

Im zweiten Fall $(2.2)$ kann der ganzzahlige Koeffizient der vorhanden Zahl $a$ bzw. $b$ genau $s$ bzw. $t$ noch nicht abgelesen werden, da die Informationen zur fehlenden Zahl $a$ bzw. $b$ sich auf die den Koeffizienten der vorhanden Zahl $a$ bzw. $b$ auswirken können. Die vorhandene Zahl wird stattdessen "nur" beibehalten und nicht durch andere Informationen ersetzt. Der fehlende gesuchte Koeffizient muss durch erneutes Einsetzten von Informationen aus vorherigen Gleichungen aus Teil 1 bestimmt werden, wobei die bereits vorhandene Zahl $a$ bzw. $b$ nicht weiter durch Informationen ersetzt werden muss.

Im letzten Fall $(2.3)$ müssen wir die in der Gleichung enthalten Reste aus den vorherigen Gleichungen aus Teil 1 erneut einsetzen^[15].

Wir veranschaulichen das Vorgehen anhand eines Beispiels.

Beispiel Berechnung der ganzzahligen Koeffizienten $s$ und $t$

Berechnung der Faktoren $s$ und $t$ mit $ggT (24, 11) = s \cdot 24 + t \cdot 11$ .

Wir wissen aus dem obigen Beispiel zu Teil 1, dass gilt: $ggT (24, 11) = 1$

und wir wissen nach Gleichung 2 aus Teil 1, dass gilt: $11 = 5 \cdot 2 + 1$

Da wir die Gleichung nach $ggT (a, b) = s \cdot a + t \cdot b$ umformen wollen, muss der $g g T (24, 11) = 1$ zunächst alleine auf einer Seite stehen

$11 = 5 \cdot 2 + 1$

$\Leftrightarrow 1 = 11 - 5 \cdot 2$ , Fall $(2.2)$

$\Leftrightarrow 1 = 11 - 5 \cdot (24 - 2 \cdot 11)$ , Fall $(2.1)$

$\Leftrightarrow 1 = - 5 \cdot 24 + 11 \cdot 11$ , Fall $(2.1)$ mit Umformung

Nun können wir die Koeffizienten $s = - 5$ und $t = 11$ ablesen.

Zur Veranschaulichung führen wir noch die Probe durch:

$- 5 \cdot 24 + 11 \cdot 11 = - 120 + 121 = 1$ .

Lernaufgabe

Aufgabe

Wenden Sie den erweiterten euklidischen Algorithmus auf $a = 23$ und $b = 120$ an.

Bemerkung: Wir nutzen diese Rechnung im Beispiels der Schlüsselerzeugung des RSA-Verschlüsselungsverfahrens.

Lösung

Wir wenden den erweiterten euklidischen Algorithmus auf das Beispiel zur Schlüsselgenerierung des RSA-Verschlüsselungsverfahrens an.

Berechnung $ggT (a, b)$

Nach der Division mit Rest gilt:

Gleichung 1: $120 = 5 \cdot 23 + 5$ , Fall $(1.2)$

Gleichung 2: $23 = 4 \cdot 5 + 3$ , Fall $(1.2)$

Gleichung 3: $5 = 1 \cdot 3 + 2$ , Fall $(1.2)$

Gleichung 4: $3 = 1 \cdot 2 + 1$ , Fall $(1.2)$

Gleichung 5: $2 = 2 \cdot 1 + 0$ , Fall $(1.1)$

Es gilt $ggT (120, 23) = 1$ .

Berechnung der Faktoren $s$ und $t$ mit $ggT (a, b) = s \cdot a + t \cdot b$

Da wir die Gleichung nach $ggT (a, b) = s \cdot a + t \cdot b$ umformen wollen, muss der $g g T (120, 23) = 1$ zunächst alleine auf einer Seite stehen

$3 = 1 \cdot 2 + 1$

$\Leftrightarrow 1 = 3 - 1 \cdot 2$ , Fall $(2.3)$

$\Leftrightarrow 1 = 3 - 1 \cdot (5 - 1 \cdot 3)$ , Fall $(2.3)$ , da nach Gleichung 3 aus Teil 1 $5 = 1 \cdot 3 + 2 \Leftrightarrow 5 - 1 \cdot 3 = 2$

$\Leftrightarrow 1 = 2 \cdot 3 - 5$ , Fall $(2.3)$

$\Leftrightarrow 1 = 2 \cdot (23 - 4 \cdot 5) - 5$ , Fall $(2.2)$ , da nach Gleichung 2 aus Teil 1 $23 = 4 \cdot 5 + 3 \Leftrightarrow 23 - 4 \cdot 5 = 3$ mit $b = 23$

$\Leftrightarrow 1 = 2 \cdot 23 - 9 \cdot 5$ , da $- 8 \cdot 5 - 5 = - 9 \cdot 5$ , Fall $(2.2)$

$\Leftrightarrow 1 = 2 \cdot 23 - 9 \cdot (120 - 5 \cdot 23)$ , Fall $(2.1)$ da nach Gleichung 1 aus Teil 1 $120 = 5 \cdot 23 + 5 \Leftrightarrow 120 - 4 \cdot 23 = 5$

$\Leftrightarrow 1 = 2 \cdot 23 - 9 \cdot 120 + 45 \cdot 23$ , durch Umformung

$\Leftrightarrow 1 = 47 \cdot 23 - 9 \cdot 120$ , Fall $(2.1)$

$\Rightarrow s = 47$ und $t = - 9$

Probe

$47 \cdot 23 - 9 \cdot 120 = 1081 - 1080 = 1$

Lernempfehlung

Kursübersicht
Übergeordnete Lerneinheit
7.1: Schlüsselerzeugung des RSA-Verschlüsselungsverfahrens
Vorherige Lerneinheit	Aktuelle Lerneinheit	Empfohlene Lerneinheit
7.1.4: Miller-Rabin-Test (Primzahltest 3)	7.1.5: Erweiterter euklidischer Algorithmus	7.1.6: Eulersche φ-Funktion

Literatur

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