Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen

Die Menge der $2\times 2$-Matrizen der Form

$Z=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)+b\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)=a\cdot E+b\cdot I$ mit $a,b\in ℝ$

bildet ebenfalls ein Modell der komplexen Zahlen. Dabei werden die reelle Einheit $1$ bzw. die imaginäre Einheit $\mathrm{i}$ durch die Einheitsmatrix $E$ bzw. die Matrix $I$ dargestellt. Daher gilt:

$\mathrm{Re}(Z)=a$

$\mathrm{Im}(Z)=b$

$I^2=-E$

$\mathrm{abs}(Z)=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\det Z}$

Diese Menge ist ein Unterraum des Vektorraums der reellen $2\times 2$-Matrizen.

Reelle Zahlen entsprechen Diagonalmatrizen $\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& a\end{array}\right).$

Die zu den Matrizen gehörenden linearen Abbildungen sind, sofern $a$ und $b$ nicht beide null sind, Drehstreckungen im Raum ${ℝ}^2$. Es handelt sich um genau dieselben Drehstreckungen wie bei der Interpretation der Multiplikation mit einer komplexen Zahl $a+b\mathrm{i}$ in der gaußschen Zahlenebene.