Diffusion/Verteilungen für Zellen

Sei $I:=\{1,...,m\}\times \{1,...,n\}$ eine Indexmenge für $m\times n$-Matrizen und $T:={\mathbb{N}}_0$ eine Menge von Zeitpunkten. In dieser kurzen Einführung wird mathematisch die Verteilung einer Ausgangsmatrix $S_t:=(s_{(i,j,t)}{)}_{(i,j)\in I,t\in T})\in Mat(m\times n,ℝ)$ beschrieben. Um die Notation zu vereinfachen, wird die Menge der $m\times n$-Matrizen mit $𝕄:=Mat(m\times n,ℝ)$ bezeichnet. Dabei wird die Verteilung einer einzelnen Zelle mit dem Index $(i_o,j_o)\in I:=\{1,...,m\}\times \{1,...,n\}$ auf die $n\cdot m$ Zellen zum Zeitschritt $t+1\in T$ jeweils durch eine Abbildung $f_{(i_o,j_o,t)}$ beschrieben.

$\begin{array}{cc}{f}_{(i_o,j_o,t)}:& ℝ\to 𝕄\\ & x\mapsto f_{(i_o,j_o,t)}(x)\end{array}$

In das Argument von $f_{(i_o,j_o,t)}$ wird z.B. die Veränderung der Schadstoffkonzentration zum Zeitpunkt $t+1$ berechnet. Da sich die Verteilung durch sich bewegende Objekte in der Zeit $t\in T$ verändert, verändern sich auch die Abbildungen und die Funktionen und die Funktionen werden daher auch mit dem Zeitparameter $t$ indiziert. Die neue Matrix $M_{t+1}:=(m_{(i,j,t+1)}{)}_{i\in (i,j)\in I,t\in T}\in Mat(m\times n,ℝ)$ erhält man durch Summation der Abbildungen:

$\begin{array}{cc}{F}_t:& 𝕄\to 𝕄\\ & S_t\mapsto F(S_t)=S_{t+1}:=\sum _{(i_o,j_o)\in I}{f}_{(i_o,j_o,t)}(s_{(i_o,j_o,t)})\end{array}$

Aufgabe

• Definieren Sie für eine einzelne Zelle mit dem Index $(i_o,j_o)\in I:=\{1,...,m\}\times \{1,...,n\}$ die Abbildung $f_{(i_o,j_o,t)}$. In einem ersten Schritt betrachten Sie einen Raum in dem sich keine Objekte bewegen und sich die Abbildung über die Zeit nicht verändern, d.h. es gilt zunächst:

$f_{(i_o,j_o)}=f_{(i_o,j_o,t)}$ für alle $t\in T$.

• Beschreiben Sie die Position von Objekten ebenfalls durch eine Matrix $M_t\in Mat(m\times n,\{0,1\})\subset 𝕄$. Dabei kann die Matrix $M_t$ als Indikator verstanden, bei dem $m_{(i_o,j_o,t)}=1$ bedeutet, dass die Zelle mit dem Index $(i_o,j_o)$ zum Zeitpunkt $t$ durch ein Objekt belegt ist. $m_{(i_o,j_o,t)}=0$ bedeutet, dass in die Zeile mit dem Index $(i_o,j_o)$ Schadstoffe verteilt werden können.
• Erläutern Sie, welche Veränderungen Sie an der grundlegenden Datenstruktur vornehmen müssen, um Diffusion in einem dreidimensionalen Raum zu modellieren!
• Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede gibt es zwischen dem hier gewählten Ansatz und der Umsetzung von Diffusion durch Differentialgleichungen! Welche Vor- und Nachteile gibt es bei den Ansätzen?