Diffusion/Tabellenkalkulation/Mathematische Grundlagen

Skalarprodukt

Für die Modellierung des Diffusionsprozesses in der Tabellenkalkulation wird ein verallgemeinertes Skalarprodukt für zwei und mehr Matrizen verwendet.

Kanonisches Skalarprodukt im ${ℝ}^n$

Sei $V={ℝ}^n$ der n-dimensionale $ℝ$-Vektorraum und zwei Vektoren $v=(v_1,...,v_n)\in {ℝ}^n$ und $w=(w_1,...,w_n)\in {ℝ}^n$ gegeben, dann definiert man das kanonische Skalarprodukt auf $V={ℝ}^n$ wie folgt:

$⟨v,w⟩=\sum _{i=1}^n{v}_i{w}_i=v_1{w}_1+v_2{w}_2+\cdots +v_n{w}_n,$

Kanonisches Skalarprodukt Matrizen

Das Skalarprodukt für Matrizen $M_1,M_2\in Mat(m\times n,ℝ)$ ist damit bereits definiert, da es sich lediglich um eine Anordnung eine Vektors v=(v_1,...,v_k) \in \mathbb{R}^{k}</math> handelt, bei dem $k=m\cdot n$ gilt. Die Definition muss dabei lediglich Zeilen- und Spaltenindex berücksichtigen.

Sei $V=Mat(m\times n,ℝ)$ der $m\cdot n$-dimensionale $ℝ$-Vektorraum und zwei Matrizen $M_1,M_2\in Mat(m\times n,ℝ)$ mit

$M_k=\left(\begin{array}{cccc}{m}_{k,1,1}& m_{k,1,2}& \cdots & m_{k,1,n}\\ m_{k,2,1}& m_{k,2,2}& \ddots & m_{k,2,n}\\ ⋮& \dots & \ddots & ⋮\\ m_{k,m,1}& \cdots & 0& m_{k,m,n}\end{array}\right)\in Mat(m\times n,ℝ)\text{ und }k\in \{1,2\}.$

Dann definiert man das kanonische Skalarprodukt auf dem Matrizenraum $V$ wie folgt:

$⟨M_1,M_2⟩=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{m}_{1,i,j}\cdot m_{2,i,j}$

Erweiterterung des Skalarproduktes zum Summenprodukt

Ein Skalarprodukt für mehr als zwei Vektoren erfüllt die Eigenschaften eines Skalarproduktes nicht mehr und wird daher als Summenprodukt bezeichnet. Die wird für die Modellbildung der Diffusion in der Tabellenkalkulation benötigt. In der Tabellenkalkulation wird dieses erweiterte Summenprodukt durch den Befehl SUMMENPRODUKT(...) in der Tabellenkalkulation verwendet (siehe LibreOffice-Erläuterung zum SUMMENPRODUKT).

Das Summenprodukt für mehr Matrizen $M_1,M_2\in Mat(m\times n,ℝ)$ ist damit bereits definiert, da es sich lediglich um eine Anordnung eines Vektors $M=(v_1,...,v_k)\in {ℝ}^k$ als Matrix $V=Mat(m\times n,ℝ)$ handelt, bei dem $k=m\cdot n$ gilt. Die Definition muss dabei lediglich Zeilen- und Spaltenindex berücksichtigen.

Sei $V=Mat(m\times n,ℝ)$ der $m\cdot n$-dimensionale $ℝ$-Vektorraum und $r$ Matrizen $M_1,\dots ,M_r\in Mat(m\times n,ℝ)$ mit

$M_k=\left(\begin{array}{cccc}{m}_{k,1,1}& m_{k,1,2}& \cdots & m_{k,1,n}\\ m_{k,2,1}& m_{k,2,2}& \ddots & m_{k,2,n}\\ ⋮& \dots & \ddots & ⋮\\ m_{k,m,1}& \cdots & 0& m_{k,m,n}\end{array}\right)\in Mat(m\times n,ℝ)\text{ und }k\in \{1,\dots ,r\}.$

Dann definiert man das Summenprodukt als erweitertes Skalarprodukt für mehr als $r$ Matrizen $M_1,\dots ,M_r\in Mat(m\times n,ℝ)$ auf dem Matrizenraum wie folgt:

$⟨M_1,\dots ,M_r⟩:==\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n\prod _{p=1}^r{m}_{p,i,j}=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{m}_{1,i,j}\cdot \dots \cdot m_{r,i,j}$

Implementierung in Tabellenkalkulation

• (LibreOffice) Die Implementierung in Tabellenkalkulation erfolgt in diesem Beispiel als Funktion, die von drei verschieden Matrizen in drei Tabellen Matrix1, Matrix2, Matrix3 gespeichert werden. Ferner sei mit $r=3,m=4,n=3$ die jeweilige Matrix im gleichen Bereich bzgl. Zeilen- und Spaltenindex lokalisiert. (Im Allgemeinen können die drei oder mehr Matrizen für das Summenprodukt aber auch in der gleichen Tabellen lokalisiert sein). Der folgende Zellinhalt steht z.B. in Zelle A8 in Tabelle Matrix1:

  =SUMMENPRODUKT($Matrix1.A1:C4;$Matrix2.A1:C4;$Matrix3.A1:C4)

Siehe auch

• Aufbau und Erläuterung der Tabellenkalkulationsdatei