Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Gegeben sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum $(Ω, 𝒮, P)$ , Gleichverteilung über $(Ω, 𝒮)$ und $𝒮 : = ℘ ((Ω)$ . $A, B \subset Ω, A \neq \emptyset$ . In dem einführenden Beispiel betrachten wir die Ereignisse:

$A$ : Stochastik-Klausur bestanden
$B$ : Fachwissenschaftliche Grundlagen mit 4,0 bestanden
Mit welcher Wahrscheinlichkeit $P (A | B)$ besteht man die Stochastik-Klausur $A$ , wenn man die Klausur zu den fachwissenschaftlichen Grundlagen nur mit 4,0 bestanden hat (d.h. $B$ erfüllt ist)?

Datei:Audio de 1 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg

Vorüberlegung

Wir nehmen an, dass das Ereignis $B$ eintritt. Welche Definition ist sinnvoll für die Wahrscheinlichkeit von $B$ , unter der Bedingung, dass $A$ eingetreten ist?

Wenn die Bedingung $B$ eintritt, so kann $A$ nur dann eintreten, wenn das Ereignis $A \cap B$ eintritt.
Wir konzentrieren uns auf die Realisationen $ω \in A$ und betrachten sie als gleichwahrscheinlich (Laplace-Verteilung).
Allgemein gilt dann $P (C) = \frac{| C |}{| Ω |}$ für alle $C \in 𝒮$ .

Datei:Audio de 2 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg

Berechnung mit Laplace-Verteilung

Damit kann die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$ wie folgt definiert werden:

P (A | B) : = \frac{| A \cap B |}{| B |} = \frac{| A \cap B | ∖ | Ω |}{| B | ∖ | Ω |} = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}

Dabei wurde der Bruch mit $\frac{1}{| Ω |}$ erweitert, um in Zähler und Nenner die Laplace-Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse $A \cap B$ und $B$ zu erzeugen. Datei:Audio de 3 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg

Definition

Sei $(Ω, 𝒮, P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum, $A \in 𝒮$ mit $P (B) > 0$ .

a) Die Abbildung $P (\cdot | B) : 𝒮 \to [0, 1]$ , die gemäß $P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}, A, B \in 𝒮$ definiert ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über $Ω$ unter (der Bedingung) $B$ .
b) Die Zahl $P (A | B)$ heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von $A$ unter (der Bedingung) $B$ . Datei:Audio de 4 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg

Aufgabenstellung

Beweisen Sie, dass $P (\cdot | B)$ eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf dem Messraum $(Ω, 𝒮)$ ist.
Es gilt $P (Ω | B) = 1$ . Die Wahrscheinlichkeit von $P (\cdot | B)$ ist allerdings auf $B$ konzentriert".

Zeigen Sie dazu, dass $P (A | B) = 0$ für alle $A \subset \bar{B} = Ω ∖ B$
Zeigen Sie, dass für $B \subset A$ , $A = B$ gilt, dass $P (A | B) = 1$ (Hinweis: Zeigen Sie, dass $P (\bar{A} | B) = 0$ gilt!)

Datei:Audio de 5 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg

Tausch der Bedingung und Ereignis

Weißer und schwarzer Würfel werden gleichzeitig geworfen. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit, mit dem schwarzen Würfel eine '6' zeigt ( $A$ ) unter der Bedingung, dass die Summe der Augenzahlen '11' beträgt ( $B$ ).

Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit $P (A | B)$
Berechnen Sie ferner die Wahrscheinlichkeit $P (B | A)$ , also der Wahrscheinlichkeit, dass die Würfelsumm 11 beträgt unter der Bedingung, dass der schwarze Würfel eine 6 zeigt.

Datei:Audio de 6 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg

Anmerkung

Formt man die Definitionsformel von oben um zu $P (A \cap B) = P (B) \cdot P (A | B)$ , so kann man die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitig Eintretens von $A$ und $B$ mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit darstellen.

Wir betrachten im Nachfolgenden eine Technik, eine Wahrscheinlichkeit auf $Ω$ durch bedingten Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen.

Anmerkung

Definition: Zerlegung

$(A_{1}, . . ., A_{m})$ heißt Zerlegung von $Ω$ auf $(Ω, 𝒮)$ , falls $⋃_{i = 1}^{m} A_{i} = Ω, A_{i} \cap A_{j} = \emptyset$ für alle $i \neq j$ und $A_{i}, A_{j} \in 𝒮$ Zerlegung

Zerlegungssatz

Sei $(A_{1}, . . ., A_{m})$ eine Zerlegung von $Ω$ auf $(Ω, 𝒮)$ . Für jedes $i = 1, . . ., m$ sei eine auf $A_{i}$ konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung ${Q_{A}}_{i}$ auf $(Ω, 𝒮)$ gegeben (d.h. ${Q_{A}}_{i} (A_{i}) = 1$ ) sowie Zahlen $p_{i} \in [0, 1]$ mit $\sum_{i = 1}^{m} p_{i} = 1$ .

(a) Dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung P auf Ω mit
- (i) $P (A_{i}) = p_{i}$ .
- (ii) $P (B | A_{i}) = {Q_{A}}_{i} (B)$ , falls $p_{i} > 0$ für alle $i = 1, . . ., m$ .
(b) Es gilt $P (B) = \sum_{i = 1}^{m} p_{i} \cdot {Q_{A}}_{i} (B)$ für jedes $B \in 𝒮$ .

Zerlegungsatz 1

Beweis Existenz (i)

Man definiere $P$ gemäß Formel b) und rechnet nach, dass $P$ eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $Ω$ ist. Wie in der letzten Bemerkung gilt für die paarweise disjunkten $A_{i}$

{Q_{A}}_{i} (A_{j}) = {\begin{matrix} 0, & i \neq j \\ 1, & i = j \end{matrix}

Daraus folgt sofort (ai) $P (A_{k}) = \sum_{i = 1}^{m} p_{i} \cdot {Q_{A}}_{i} (A_{k}) = p_{k}$ . Datei:Audio de 10 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg

Beweis Existenz (ii)

Für ein beliebiges $p_{i} > 0$ und $B \in 𝒮$ gilt

P (B | A_{i}) = \frac{P (A_{i} \cap B)}{P (A_{i})} = \frac{1}{p_{i}} \sum_{j = 1}^{m} p_{j} {Q_{A}}_{j} (A_{i} \cap B) =

= \frac{p_{i}}{p_{i}} ({Q_{A}}_{i} (A_{i} \cap B) + {Q_{A}}_{i} ({\bar{A}}_{i} \cap B) = {Q_{A}}_{i} (B))

also ii). Datei:Audio de 11 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg

Beweis Eindeutigkeit

Sei $\tilde{P}$ eine (weitere) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $(Ω, 𝒮)$ , die (ai) und (aii) erfüllt. Dann gilt für $B \subset Ω$ und wegen $B = Ω \cap B = (⋃_{j = 1}^{m} A_{j}) \cap B$ die Gleichung

\tilde{P} (B) = \tilde{P} (⋃_{j = 1}^{m} A_{j} \cap B) = \sum_{j = 1}^{m} \tilde{P} (A_{j} \cap B) =

= \sum_{j = 1}^{m} \tilde{P} (A_{j}) \cdot \tilde{P} (B | A_{j}) \overset{(i), (i i)}{=} \sum_{j = 1}^{m} p_{j} {Q_{A}}_{j} (B) = P (B) . ◻

Datei:Audio de 12 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

Für jedes $B \subset Ω$ und eine Zerlegung $(A_{1}, \dots, A_{m})$ von $Ω$ auf $(Ω, 𝒮)$ gilt also für alle $B \in 𝒮$ :

P (B) = \sum_{j = 1}^{m} P (A_{j}) P (B | A_{j})

("Formel der totalen Wahrscheinlichkeit").

Beweisen Sie den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit über die Zerlegung von $Ω$ . Datei:Audio de 13 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg

Formel von Bayes (Satz)

Ist $P$ eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $Ω$ , $(A_{1}, . . ., A_{m})$ einer Zerlegung von $Ω$ auf $(Ω, 𝒮)$ , so gilt für jedes $B \in 𝒮$ mit $P (B) > 0$ und $i = 1, . . ., m$

P (A_{i} | B) = \frac{P (B | A_{i}) \cdot P (A_{i})}{\sum_{j = 1}^{m} P (B | A_{j}) \cdot P (A_{j})} .

Datei:Audio de 14 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg

Beweis

P (A_{i} | B) = \frac{P (A_{i} \cap B)}{P (B)} = \frac{P (B | A_{i}) \cdot P (A_{i})}{\sum_{j = 1}^{m} P (B | A_{j}) \cdot P (A_{j})}

Datei:Audio de 15 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg

Bemerkung

Man beachte, dass auf der linken und rechten Seite "Argument und Bedingung" vertauscht auftreten. In einer außermathematischen Deutung spielen $A_{j}$ die Rolle von (verschiedenen) Ursachen für die Wirkung von $B$ . Datei:Audio de 16 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg

Beispiel (Test auf eine Krankheit)

$Ω$ sei die Gesamtheit der Personen aus der Bevölkerung. $p \cdot 100 %$ der Bevölkerung ( $K \subset Ω$ ) leidet an der Krankheit. Ein Test für diese Krankheit spreche bei $k \cdot 100 %$ der Kranken aus $K$ an und bei $g \cdot 100 %$ der Gesunden ( $Ω ∖ K$ ) positiv an ( $k =$ Sensitivität, $1 - g =$ Spezifität des Testes). Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person $ω \in Ω$ die Krankheit,

wenn der Test positiv ausfällt?
wenn der Test negativ ausfällt?

Datei:Audio de 17 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg

Produktformel (Satz)

Sei $P$ eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $Ω$ und seien $A_{1}, . . ., A_{n} \subset Ω$ mit $P (A_{1} \cap . . . \cap A_{n - 1}) > 0$ . Dann gilt die sogenannte "Produktformel":

P (A_{1} \cap . . . \cap A_{n}) = P (A_{1}) \cdot P (A_{2} | A_{1}) \cdot P (A_{3} | A_{1} \cap A_{2}) \cdot . . . \cdot P (A_{n} | A_{1} \cap . . . \cap A_{n - 1})

Datei:Audio de 18 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg

Beweis

Die Faktoren auf der rechten Seite sind definiert wegen

P (A_{1}) \geq P (A_{1} \cap A_{2}) \geq . . . \geq P (A_{1} \cap . . . \cap A_{n - 1}) > 0 .

P (A_{1} \cap . . . \cap A_{n}) = P (A_{1} \cap . . . \cap A_{n - 1}) \cdot P (A_{n} | A_{1} \cap . . . \cap A_{n - 1})

= P (A_{1} \cap . . . \cap A_{n - 2}) \cdot P (A_{n - 1} | A_{1} \cap . . . \cap A_{n - 1}) \cdot P (A_{n} | A_{1} \cap . . . \cap A_{n - 1}) = . . .

= P (A_{1}) \cdot P (A_{2} | A_{1}) \cdot P (A_{3} | A_{1} \cap A_{2}) \cdot . . . \cdot P (A_{n} | A_{1} \cap . . . \cap A_{n - 1}) ◻

Datei:Audio de 19 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg

Bemerkung

Dieser Satz verallgemeinert die Formel $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B | A) .$ Datei:Audio de 20 bedingte wahrscheinlichkeit.ogg

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Der Foliensatz für diese Seite wurde auf Basis der folgenden Wikipedia-Quelle erstellt:

Bedingte Wahrscheinlichkeit https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit
Datum: 5.11.2018
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