Wahrscheinlichkeitsraum

Einführung

Ein Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus einem Tripel $(\mathrm{\Omega },𝒮,P)$, wobei

• $\mathrm{\Omega }$ die Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes ($\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6\}$ Würfelwurf)
• $𝒮$ als Mengensystem von Teilmenge von Omega als die Menge alle Ereignisse (z.B. $𝒮\subseteq \mathrm{\wp }(\mathrm{\Omega })$ ) und
• $P:𝒮\to [0,1]$ die Funktion ist, die jeder messbaren Menge $A\in 𝒮$ eine Wahrscheinlichkeit $P(A)$ zuordnet (z.B. $P(A)=\frac{1}{2}$ mit $A:=\{1,3,5\}$).

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Sigma-Algebra

Sei $\mathrm{\Omega }=\mathrm{\varnothing }$. Ein Teilmenge $𝒮$ der Potenzmenge $\mathrm{\wp }(\mathrm{\Omega })$ heißt $\sigma$-Algebra, wenn folgende Bedingungen gelten:

• $\mathrm{\Omega }\in 𝒮$
• $A\in 𝒮⟹A^c=\mathrm{\Omega }\setminus A\in 𝒮$
• $A_n\in 𝒮$ für alle $n\in \mathbb{N}$, dann gilt $\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{A}_n\in 𝒮$

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Anmerkung

Die Strucktur der $\sigma$-Algerba ist Grundlage für viele Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes.

Messraum

Sei $\mathrm{\Omega }=\mathrm{\varnothing }$ und $𝒮$ eine $\sigma$-Algebra über $\mathrm{\Omega }$, dann heißt $(\mathrm{\Omega },𝒮)$ einen Messraum. Datei:Audio de 2 wahrscheinlichkeitsraum.ogg

Aufgabe 1

Sei $\mathrm{\Omega }=\mathrm{\varnothing }$ und ${𝒮}^{\prime }\subseteq \mathrm{\wp }(\mathrm{\Omega })$. Ziel der Aufgabe ist es, ${𝒮}^{\prime }\subseteq \mathrm{\wp }(\mathrm{\Omega })$ so zu $𝒮\subseteq \mathrm{\wp }(\mathrm{\Omega })$ zu erweitern, dass $(\mathrm{\Omega },𝒮)$ ein Messraum ist.

• Sei $\mathrm{\Omega }:=\{1,2,3,4,5,6\}$ und ${𝒮}^{\prime }:=\{\mathrm{\Omega },\{1,2\},\{5,6\}\}$. Ergänzen Sie Menge ${𝒮}^{\prime }$ minimal so zu $𝒮$, dass $𝒮$ eine $\sigma -$Algebra ist.

Datei:Audio de 3a wahrscheinlichkeitsraum.ogg

Aufgabe 2

Die Borelsche $\sigma -$Algebra von den abgeschlossenen Intervallen $ℰ:=\{[a,b]|a,b\in ℝ\wedge a<b\}$ erzeugt:

• Begründen Sie mit dem Erzeuger der $ℰ$ und den Eigenschaften einer $\sigma$-Algebra, dass $\{x\}\in ℬ$ auch alle Einpunktmengen $\{x\}\in ℬ$ enthält.

Datei:Audio de 3b wahrscheinlichkeitsraum.ogg

Definition - Messbare Abbildung

Seien $({\mathrm{\Omega }}_1,{𝒮}_1)$ und $({\mathrm{\Omega }}_2,{𝒮}_2)$ Messräume. Eine Abbildung $X:{\mathrm{\Omega }}_1⟶{\mathrm{\Omega }}_2$ heißt $({𝒮}_1,{𝒮}_2)$-messbar, wenn gilt:

${\mathrm{\forall }}_{B\in {𝒮}_2}:X^{-1}(B)\in {𝒮}_1$

Bemerkung - Induzierte W-Verteilung

Über eine messbare Abbildung $X:{\mathrm{\Omega }}_1⟶{\mathrm{\Omega }}_2$ kann man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung $P_X$ von dem Messraum $({\mathrm{\Omega }}_1,{𝒮}_1)$ auf $({\mathrm{\Omega }}_2,{𝒮}_2)$ induzieren. Es gilt

$P_X(B):=P(X^{-1}(B))$

für alle $B\in {𝒮}_2$.

Datei:Audio de 5 wahrscheinlichkeitsraum.ogg

Beispiel

Seien $({\mathrm{\Omega }}_1,{𝒮}_1)$ und $({\mathrm{\Omega }}_2,{𝒮}_2)$ als Messräume wie folgt definiert:

• ${\mathrm{\Omega }}_1:=\{1,2,3,4,5,6{\}}^2$ zweimaliges Würfeln mit ${𝒮}_1:=\mathrm{\wp }({\mathrm{\Omega }}_1)$ (Potenzmenge von ${\mathrm{\Omega }}_1$).
• ${\mathrm{\Omega }}_2:=ℝ$ mit ${𝒮}_2:=ℬ$ (Borelsche $\sigma$-Algebra).
• $X(w_1,w_2):=w_1+w_2$ für alle $(w_1,w_2)\in {\mathrm{\Omega }}_1:=\{1,2,3,4,5,6{\}}^2$

Bestimmen Sie mit $X:{\mathrm{\Omega }}_1⟶{\mathrm{\Omega }}_2$ die Menge $B:=\{1,4\}\subset {\mathrm{\Omega }}_2$ die Menge $X^{-1}(B)=X^{-1}(\{1,4\})\subseteq {\mathrm{\Omega }}_1$! Datei:Audio de 6 wahrscheinlichkeitsraum.ogg

Defintion - Wahrscheinlichkeitsverteilung

Sei $(\mathrm{\Omega },𝒮)$ ein Messraum und eine Abbildung $P:𝒮⟶ℝ$ gegeben, die folgende Eigenschaften besitzt:

• (Nichtnegativität) $P(A)\ge 0$ für alle $A\in 𝒮$
• (Normiertheit) $P(\mathrm{\Omega })=1$
• ($\sigma$-Additivität) $A_n\in 𝒮$ für alle $n\in \mathbb{N}$ und paarweise disjunkt folgt: $P\left(\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{A}_n\right)=\sum _{n\in \mathbb{N}}P\left(A_n\right)$.
  

$P$ nennt man dann Wahrscheinlichkeitsmaß bzw. Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $(\mathrm{\Omega },𝒮)$ und $(\mathrm{\Omega },𝒮,P)$ bezeichnet man als Wahrscheinlichkeitsraum. Datei:Audio de 7 wahrscheinlichkeitsraum.ogg

Weitere Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes

1. $0\le P(A)\le 1$
2. $P(\mathrm{\varnothing })=0$
3. $P(\mathrm{\Omega }\setminus A)=1-P(A)$
4. $P(A\setminus B)=P(A)-P(B)$ falls $B\subseteq A$
5. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
6. Gilt $A\subseteq B$, so folgt $P(A)\le P(B)$.

Aufgabe

Vergleichen Sie die Eigenschaften der $\sigma$-Algerba mit den erweitereten Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes. Welche Parallelen stellen Sie fest.

Zufallsgröße

Sei $({\mathrm{\Omega }}_1,{𝒮}_1,P_1)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $({\mathrm{\Omega }}_2,{𝒮}_2)=(ℝ,ℬ)$ die Borelsche $\sigma$-Algebra, dann nennt man die $({𝒮}_1,ℬ)$-messbare Abbildung $X:{\mathrm{\Omega }}_1\to ℝ$ eine (eindimensionale) Zufallsgröße.

Bemerkung: Die Messbarkeit von $X$ sorgt dafür, dass $P$ auf der Menge $X^{-1}(B)\in {𝒮}_1$ definiert ist.

Induzierte reellwertige Wahrscheinlichkeitsverteilung

Sei $(\mathrm{\Omega },𝒮,P)$ ein Zufallsexperiment und $X:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ eine Zufallsgröße auf dem Messraum $(\mathrm{\Omega },𝒮)$. Die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung $P_X$ ist dann mit $ℬ$ als Borelsche $\sigma$-Algebra wie folgt definiert:

$P_X:ℬ\to [0,1]$ mit $B\mapsto P_X(B):=P(\underset{\in 𝒮}{\underbrace{X^{-1}(B)}})$

$(ℝ,ℬ,P_X)$ nennt man eine induzierte W-Verteilung der Zufallsgröße $X:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ Datei:Audio de 8 wahrscheinlichkeitsraum.ogg

Siehe auch

• Kurs:Stochastik
• Glockenkurve und stetige Wahrscheinlichkeitsdichten

Seiteninformation

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