Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume

Einführung und Beispiele

Stochastik = Wahrscheinlichkeitstheorie + Statistik

In der Stochastik werden Vorgänge untersucht, deren Ablauf vom Zufall (mit-)bestimmt wird. Sofern sie einer objektiven Beschreibung zugänglich sind, werden diese im Folgenden Zufallsexperiment genannt.

Beispiele Zufallsexperiment

• (B1) Geschlecht (m/w/d) eines Neugeborenen
• (B2) Gewicht eines Neugeborenen
• (B3) 900-maliges Würfeln mit auszählen der gewürfelten Sechser
• (B4) Entnahme und Prüfung (defekt/ in Ordnung) von 100 Glühbirnen aus einer Produktionsmarche
• (B5) Anzahl der Augen (1,..,6) beim Werfen eines Würfels

Zufallsexperiment und mathematisches Modell

Wahrscheinlichkeitstheorie stellt für ein Zufallsexperiment unter Abzug der inhaltlichen Bedingungen (Abstraktion) ein mathematisches Modell auf. Konkrete Fragestellungen können dann auf der Ebene dieses Modells bearbeitet werden.

Ergebnisraum, Ereignisse, Wahrscheinlichkeit

Alle möglichen Ergebnisse (Werte), die bei der Durchführung eines Zufallsexperimentes auftreten können, werden zum Ergebnisraum (Grundmenge) $\mathrm{\Omega }$ zusammen gefasst. Jedes Element $\omega \in \mathrm{\Omega }$ heißt Ergebnis oder Realisation. $\mathrm{\Omega }$ wird vor der Durchführung des Zufallsexperiments festgelegt.

Beispiele Ergebnisraum

• (B1) Geschlecht eines Neugeborenen: $\mathrm{\Omega }=\{m,w\}$, mögliches Ergebnis $\omega =m$
• (B2) Gewicht eines Neugeborenen in Gramm: $\mathrm{\Omega }=\{1,2,...,10000\}$, mögliches Ergebnis $\omega =2731[g]$
• (B3) 900-maliges Würfeln mit auszählen der gewürfelten Sechser: $\mathrm{\Omega }=\{0,1,...,900\}$, mögliches Ergebnis $\omega =138$
• (B4) Prüfung (defekt/ in Ordnung) von 100 Glühbirnen: $\mathrm{\Omega }=\{0,1,...,100\}$, mögliches Ergebnis $\omega =12$
• (B5) Anzahl der Augen (1,..,6) beim Werfen eines Würfels $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6\}$, mögliches Ergebnis $\omega =2$

Alternative Festlegung des Ergebnisraum

Je nach Fragestellung / Interessenslage sind unterschiedliche Festlegungen von $\mathrm{\Omega }$ möglich.

Falls in (B3) die maximale Länge von '1er', '2er', ... , '6er' Sequenzen interessiert, so setzt man $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6{\}}^{900}$. Ein mögliches Ergebnis wäre dann $\omega =(\underset{900mal}{\underbrace{5,6,1,3,...,6}})\in \mathrm{\Omega }$.

Ereignis

Häufig interessiert weniger das genaue Ergebnis $\omega$ eines Zufallsexperiments, sondern mehr die Frage, ob die Realisation eine bestimmte Eigenschaft besitzt bzw. ob ein bestimmtes Ereignis eingetreten ist.
Die Ereignisse eines Zufallsexperimentes sind die Teilmengen der Grundmenge $\mathrm{\Omega }$. 'Ereignis $A\subset \mathrm{\Omega }$ tritt ein' besagt, dass $\omega \in \mathrm{\Omega }$ als Ereignis eingetreten ist.

Unterschied: Ergebnis Ereignis

Sei $\mathrm{\Omega }$ der Ergebnisraum eines Zufallsexperiments $(\mathrm{\Omega },𝒮,P)$, dann gilt:

• $\omega \in \mathrm{\Omega }$ ist ein Ergebnis
• $A\subset \mathrm{\Omega }$ ist ein Ereignis, wenn $A\in 𝒮\subset \mathrm{\wp }(\mathrm{\Omega })$ ist ein Ereignis.
  

Ereignisse sind also Teilmengen von $\mathrm{\Omega }$.

Beispiel

Bei einem Würfelexperiment ist ein Ergebnis $6\in \mathrm{\Omega }$. Ein Ereignis "gerade Zahl gewürfelt" entspricht dann z.B. die Teilmenge $A:=\{2,4,6\}\subset \mathrm{\wp }(\mathrm{\Omega })$

Bezeichnungen von Ereignissen (1)

Seien $A,B\subset \mathrm{\Omega }$ Ereignisse, so bedeutet

• $\bar{A}=\mathrm{\Omega }\setminus A$: Komplementärereignis oder Gegenereignis von A ('A ist nicht eingetreten').
• $A\cup B$: Oder-Ereignis ('A und/ oder B ist/ sind eingetreten').
• $A\cap B$: Und-Ereignis ('A und B sind eingetreten').
• $\mathrm{\varnothing }$: Unmögliches Ereignis.
• $\mathrm{\Omega }$: Sicheres Ereignis/Ergebnisraum (bzw. Grundmenge).
• $\{\omega \}$: Elementarereignis, falls $\omega \in \mathrm{\Omega }$ ein Ergebnis ist.

Bezeichnungen von Ereignissen (2)

• $\mathrm{\wp }(\mathrm{\Omega })$: Potenzmenge von $\mathrm{\Omega }$ - Menge aller Teilmengen.
• $w\in \mathrm{\Omega }$: Ergebnis (Realisation).
• $𝒮(\mathrm{\Omega })$: Ergebnisalgebra, $A\in 𝒮(\mathrm{\Omega })$, $[A\in \mathrm{\Omega }]$ Ereignis.
• $P(A)$: Wahrscheinlichkeit von $A$, $P$ Wahrscheinlichkeitsverteilung über $\mathrm{\Omega }$ (genauer $𝒮(\mathrm{\Omega })$).
• $(\mathrm{\Omega },𝒮(\mathrm{\Omega }),P)$: bildet ein mathematisches Modell für ein Zufallsexperiment.

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