Lineares Differentialgleichungssystem/Anfangswertproblem/2 3 0 7/5 -4/Aufgabe/2/Lösung

Differentialgleichungssysteme mit EDV (Mathematica) berechnen

Folgendes Beispiel soll Berechnet werden.

$\frac{d}{d t} (\binom{y_{1} (t)}{y_{2} (t)}) = (\begin{matrix} 2 & 3 \\ 0 & 7 \end{matrix}) (\binom{y_{1} (t)}{y_{2} (t)})$ mit der Anfangsbedingungen $(\binom{y_{1} (0)}{y_{2} (0)}) = (\binom{5}{- 4})$

Das Berechnungsbeispiel [1] ist ein lineares Differentialgleichungssystem

Einführung

Zunächst wird allgemein ein Differentialgleichungssystem betrachtet.

$(\begin{matrix} C_{1, 1} & C_{1, 2} \\ C_{2, 1} & C_{2, 2} \end{matrix}) \frac{d}{d t} (\binom{y_{1} (t)}{y_{2} (t)}) = (\begin{matrix} D_{1, 1} & D_{1, 2} \\ D_{2, 1} & D_{2, 2} \end{matrix}) (\binom{y_{1} (t)}{y_{2} (t)}) + (\binom{r_{1} (t)}{r_{2} (t)})$

Diese Gleichung wird so umgeformt, dass der Ableitungsvektor isoliert vorkommt. Hierzu wird die Inverse C Matrix benötigt.

${(\begin{matrix} C_{1, 1} & C_{1, 2} \\ C_{2, 1} & C_{2, 2} \end{matrix})}^{- 1} (\begin{matrix} C_{1, 1} & C_{1, 2} \\ C_{2, 1} & C_{2, 2} \end{matrix}) \frac{d}{d t} (\binom{y_{1} (t)}{y_{2} (t)}) = {(\begin{matrix} C_{1, 1} & C_{1, 2} \\ C_{2, 1} & C_{2, 2} \end{matrix})}^{- 1} (\begin{matrix} D_{1, 1} & D_{1, 2} \\ D_{2, 1} & D_{2, 2} \end{matrix}) (\binom{y_{1} (t)}{y_{2} (t)}) + {(\begin{matrix} C_{1, 1} & C_{1, 2} \\ C_{2, 1} & C_{2, 2} \end{matrix})}^{- 1} (\binom{r_{1} (t)}{r_{2} (t)})$

Daraus entsteht folgender Ausdruck

$(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \frac{d}{d t} (\binom{y_{1} (t)}{y_{2} (t)}) = (\begin{matrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} \\ a_{2, 1} & a_{2, 2} \end{matrix}) (\binom{y_{1} (t)}{y_{2} (t)}) + (\binom{s_{1} (t)}{s_{2} (t)})$

Zielformel: (Fundamentalsystem^[1])

$\dot{\vec{y}} (t) = \vec{\vec{A}} \vec{y} (t) + \vec{s} (t)$

Ansatz zum lösen des Differentialgleichungssystems:

$\vec{y} (t) = e^{\vec{\vec{A}} t} * (\vec{v} + \int_{τ = 0}^{t} e^{- \vec{\vec{A}} t} s (t) d τ)$

Dabei fällt der Anteil in dem die Störvektor vorzufinden ist raus da es in der Aufgabe keinen Störvektor gibt. Das Problem ist eine homogenes Differentialgleichungssystem.

$\vec{y} (t) = e^{\vec{\vec{A}} t} \vec{v}$

Somit ist die Lösung mit dem Matrixexponential zu bestimmen und über die Anfangsbedingungen wird der Konstantenvektor bestimmt.

Definition Matrixexponetial

$e^{\vec{\vec{A}} t} = e^{\vec{\vec{P}} \vec{\vec{D}} {\vec{\vec{P}}}^{- 1}} = \vec{\vec{P}} e^{\vec{\vec{D}} t} {\vec{\vec{P}}}^{- 1}$

Die P Matrix besteht aus den Eigenvektoren der A Matrix.

Die Diagonalmatrix enthält auf ihrer Hauptdiagonalen die Eigenwerte der A Matrix.

Die A Matrix ist die Systemmatrix und beschreibt das Eigenverhalten eines technischen Systems.

Allgemein zu den Eigenwerten und den dazugehörigen Eigenvektoren ist das sogenannte Eigensystem.

$\vec{\vec{A}} \vec{x} = λ \vec{x}$

Im folgenden soll ein Programm gezeigt werden, dass die Lösung des Systems bestimmt.

Nachdem das Matrixexponential bestimmt wurde bedient man sich der Berechnung des Konstantenvektors:

$(\binom{y_{1} (t)}{y_{2} (t)}) = (\begin{matrix} e^{2 t} & \frac{3}{5} e^{2 t} (- 1 + e^{5 t}) \\ 0 & e^{7 t} \end{matrix}) (\binom{v_{1}}{v_{2}})$

mit den Anfangsbedingungen:

$(\binom{y_{1} (0)}{y_{2} (0)}) = (\binom{5}{- 4}) = (\begin{matrix} e^{2 * 0} & \frac{3}{5} e^{2 * 0} (- 1 + e^{5 * 0}) \\ 0 & e^{7 * 0} \end{matrix}) (\binom{v_{1}}{v_{2}})$

$(\binom{5}{- 4}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\binom{v_{1}}{v_{2}})$

$(\binom{v_{1}}{v_{2}}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\binom{5}{- 4}) = (\binom{5}{- 4})$

Die Lösung:

$y 0 (t) = (\begin{matrix} 5 e^{2 t} & - 4 \frac{3}{5} e^{2 t} (- 1 + e^{5 t}) \\ 0 & - 4 e^{7 t} \end{matrix})$

Programm Mathematica

$A = (\begin{matrix} 2 & 3 \\ 0 & 7 \end{matrix});$

$v = (\binom{5}{- 4});$

$c 0 = (\binom{c_{1}}{c_{1}});$

λ = Eigenvalues[A];

κ = Eigenvectrors[A];

G[t_] = MatrixExp[A t];

y[t_] = G[t_].c0;

F[t_] = Inverse[G[t]];

StringForm[" Eigenwerte: ``" , λ //MatrixForm];

StringForm[" Eigenvektoren ``", κ //MatrixForm];

StringForm["Matrixexponential: ``", G[t] //MatrixForm];

StringForm["Inverse Matrixexponential: ``", F[t] //MatrixForm];

StringForm[" Loesungallgemein: ``" , y[t] //MatrixForm];

(*Ergebnisse durch Tasten Shift + Enter*)

$E i g e n w e r t e : (\binom{7}{2})$

$E i g e n v e k t o r e n : (\begin{matrix} 3 & 5 \\ 1 & 0 \end{matrix})$

$M a t r i x e x p o n e n t i a l : (\begin{matrix} e^{2 t} & \frac{3}{5} e^{2 t} (- 1 + e^{5 t}) \\ 0 & e^{7 t} \end{matrix})$

$I n v e r s e M a t r i x e x p o n e n t i a l : (\begin{matrix} e^{- 2 t} & - \frac{3}{5} e^{- 7 t} (- 1 + e^{5 t}) \\ 0 & e^{- 7 t} \end{matrix})$

$L o e s u n g a l l g e m e i n : (\begin{matrix} e^{2 t} c_{1} + \frac{3}{5} e^{2 t} (- 1 + e^{5 t}) c_{2} \\ e^{7 t} c_{2} \end{matrix})$

Berechnung des Konstantenvektors:

yc[t_] = G[t].c0;

yf[t_] = F[0].v;

yy = yc[t_]//.(c1->5)//:(c2->-4);

StringForm["y0(t) = ``", yc[t]//MatrixForm]

StringForm["Konstantenvektor ``", yf[t]//MatrixForm]

StringForm["Loesung ``", yy//MatrixForm]

(*Ausgabe durch Shift + Enter*)

$y 0 (t) = (\begin{matrix} e^{2 t} c_{1} & \frac{3}{5} e^{2 t} (- 1 + e^{5 t}) c_{2} \\ 0 & e^{7 t} c_{2} \end{matrix})$

$K o n s t a n t e n v e k t o r (\binom{5}{- 4})$

$L o e s u n g (\binom{\frac{1}{5} e^{2 t} (37 - 12 e^{5 t})}{- 4 e^{7 t}})$

↑ Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure Günter Bärwolff Spektrum

[1] Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure Günter Bärwolff Spektrum

[1]

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