Noetherscher Ring/Unterring/Aufgabe/Lösung

Man betrache den Polynomring in zwei Variablen über einem Körper $K[X,Y]$. Dieser ist offensichtlich noethersch. In diesem Ring betrachte man den Unterring $A:=\{Xg(X,Y)+c\mid g\in K[X,Y],c\in K\}$ und darin die Idealkette $I_n=(X,XY,...,X{Y}^n)$. Dann ist $X{Y}^{n+1}\in I_{n+1}\setminus I_n\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ und somit wird die Kette nicht stationär. A ist also nicht noethersch.