Kurs:Funktionentheorie/Harmonische Funktion

Definition

Sei $U\subseteq ℂ$ offen, eine Funktion $u:U\to ℝ$ heißt harmonisch, wenn sie zweimal differenzierbar ist und

$\mathrm{\Delta }u:=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$

gilt.

Der Realteil einer holomorphen Funktion ist harmonisch, wie aus den Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen folgt, interessanterweise gilt auch die Umkehrung, d. h. jede harmonische Funktion ist Realteil einer holomorphen Funktion.

Zusammenhang mit holomorphen Funktionen

Sei $U\subseteq ℂ$ einfach zusammenhängend. Für $u\in C^2(U,ℝ)$ sind äquivalent:

1. $\mathrm{\Delta }u=0$
2. Es gibt ein $v\in C^2(U,ℝ)$, so dass $u+iv$ holomorph ist.

Beweis

2. $⟹$ 1. Nach den Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen gilt:

$\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}& =\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)\\ & =\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)+\frac{\partial }{\partial y}(-\frac{\partial v}{\partial x})\\ & =\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x\partial y}-\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y\partial x}\\ & =0.\end{array}$

1. $⟹$ 2. Betrachte die Funktion $g:=\frac{\partial u}{\partial x}-i\frac{\partial u}{\partial y}$. Nach den Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen ist $g$ holomorph. Da $U$ einfach zusammenhängend ist, gibt es eine Stammfunktion $f:U\to ℂ$ von $g$, wir dürfen (durch Addition einer Konstante) annehmen, dass $u(z_0)=f(z_0)$ für ein $z_0\in U$ gilt. Schreibe $f=u_1+i{v}_1$. Es ist

$\frac{\partial u_1}{\partial x}-i\frac{\partial u_1}{\partial y}=f^{\prime }=g=\frac{\partial u}{\partial x}-i\frac{\partial u}{\partial y}$

also ist $u_1-u$ konstant. Wegen $u_1(z_0)=f(z_0)=u(z_0)$ ist $u_1=u$ und $v:=v_1$ leistet das Gewünschte.