Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen

Einführung

Ungleichungen sind ein wesentliches Hilfsmittel um zentrale Aussage in der Funktionentheorie zu zeigen. Da $ℂ$ keine vollständige/totale Ordnung besitzt, muss man für Abschätzungen auf den Betrag der Funktionen übergehen.

Ungleichung für Summe von Realteil- und Imaginärteil - UG-RI

Sei $f:[a,b]\to ℂ$ stückweise stetig mit $f_1:[a,b]\to ℝ$, $f_2:[a,b]\to ℝ$ und $f=f_1+i\cdot f_2$, dann gilt:

$|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt|\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f_1(t)|dt+\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f_2(t)|dt$

Aufgabe - UG-RI

Führen Sie den Beweis für UG.RI aus. Der Beweis erfolgt durch Zerlegung in Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion, Linearität des Integrals und der Anwendung der Dreiecksungleichung.

Ungleichung für Betrag im Integrand - UG-BI

Sei $f:[a,b]\to ℂ$ stückweise stetig, dann gilt:

$|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt|\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(t)|dt$

Beweis - UG-BI

Der Beweis wird über eine Fallunterscheidung geführt mit:

• (BI-1) $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt=0$
• (BI-2)$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt=0$

Fall - (BI-1)

Mit $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt=0$ folgt $|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt|=0$. Da $|f(t)|\ge 0$ folgt $\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(t)|dt\ge 0$ und man erhält:

$|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt|=0\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(t)|dt$

Fall - (BI-2)

Das Integral $\beta =\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt\in ℂ$ ist eine komplexe Zahl mit $\beta =0$, für die gilt mit $|\beta |=\sqrt{\beta \cdot \bar{\beta }}$:

$|\beta |=\frac{|\beta {|}^2}{|\beta |}=\frac{\beta \cdot \bar{\beta }}{|\beta |}=\underset{\alpha :=}{\underbrace{\frac{\bar{\beta }}{|\beta |}}}\cdot \beta =\alpha \cdot \beta$

Fall - (BI-2) - Schritt 1

Mit $\beta =0$ erhält durch die Anwendung der Linearität des Integrals:

$|\beta |=\alpha \cdot \beta =\alpha \cdot \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\alpha \cdot f(t)dt$

Fall - (BI-2) - Schritt 3

Sei $g:=\alpha \cdot f$ und $g:[a,b]\to ℂ$ stückweise stetig mit $g_1:[a,b]\to ℝ$, $g_2:[a,b]\to ℝ$ und $g=g_1+i\cdot g_2$, dann gilt mit der Linearität des Integrals:

$\begin{array}{ccc}\Re 𝔢(\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(t)dt)& =& \Re 𝔢(\underset{\in ℝ}{\underbrace{\underset{a}{\overset{b}{\int }}{g}_1(t)dt}}+i\cdot \underset{\in ℝ}{\underbrace{\underset{a}{\overset{b}{\int }}{g}_2(t)dt}})\\ & =& \Re 𝔢\left(\underset{\in ℝ}{\underbrace{\underset{a}{\overset{b}{\int }}{g}_1(t)dt}}\right)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{g}_1(t)dt\\ & =& \underset{a}{\overset{b}{\int }}\Re 𝔢(g_1(t))dt\end{array}$

Fall - (BI-2) - Schritt 4

Weil $|\beta |=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\alpha \cdot f(t)dt\in ℝ$ gilt, erhält man mit der obigen Rechenregel aus Schritt 3 für den Realteil:

$|\beta |=\Re 𝔢\left(\underset{\in ℝ}{\underbrace{\underset{a}{\overset{b}{\int }}\alpha \cdot f(t)dt}}\right)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\underset{\in ℝ}{\underbrace{\Re 𝔢(\alpha \cdot f(t))}}dt$

Fall - (BI-2) - Schritt 5

Die folgende Realteilabschätzung gegen den Betrag einer komplexen Zahl $z$

$\Re 𝔢(z)=z_1\le |z_1|=\sqrt{z_1^2}\le \sqrt{z_1^2+z_2^2}=|z|$

für $z=z_1+i\cdot z_2$ wird nun auf den Integranden des obigen Integrals $\underset{\in ℝ}{\underbrace{\Re 𝔢(\alpha \cdot f(t))}}$ angewendet.

Fall - (BI-2) - Schritt 6

Die folgende Abschätzung ergibt analog zu Schritt 5 über die Linearität des Integrals

$|\beta |=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\Re 𝔢(\alpha \cdot f(t))dt\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|\alpha \cdot f(t)|dt=|\alpha |\cdot \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(t)|dt$

Fall - (BI-2) - Schritt 7

Da $|\alpha |=\left|\frac{\bar{\beta }}{|\beta |}\right|=\frac{|\bar{\beta }|}{|\beta |}=1$ gilt, erhält man insgesamt die gesuchte Abschätzung:

$|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt|=\alpha \cdot \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(t)|dt\le |\alpha |\cdot \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(t)|dt=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(t)|dt$

q.e.d.

Ungleichung für die Abschätzung über Integrationswegen

Sei $\gamma :[a,b]\to ℂ$ ein Integrationsweg und $f:U\to ℂ$ auf der Spur von $\gamma$ stetige Funktion ($Spur(\gamma ):=\{\gamma (t):t\in [a,b]\}\subset U$). Dann gilt:

$|\underset{\gamma }{\int }f(z)dz|\le \underset{z\in Spur(\gamma )}{\max }|f(z)|\cdot ℒ(\gamma )$

Dabei ist $ℒ(\gamma )=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|{\gamma }^{\prime }(t)|dt$ die Länge des Integrals.

Beweis

Durch Verwendung der obigen Abschätzung nach oben durch $|f(z)dz|\le \underset{z\in Spur(\gamma )}{\max }|f(z)|$ und der Verwendung des Ungleichung (UG-BI) erhält man.

$\begin{array}{ccc}|\underset{\gamma }{\int }f(z)dz|& \stackrel{UG-BI}{\le }& \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(\gamma (t))\cdot \gamma {}^{\prime }(t)|dt=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(\gamma (t))|\cdot |\gamma {}^{\prime }(t)|dt\\ & \le & \underset{a}{\overset{b}{\int }}\underset{M:=}{\underbrace{\underset{z\in Spur(\gamma )}{\max }|f(z)|}}\cdot |\gamma {}^{\prime }(t)|dt=M\cdot \underset{\gamma }{\int }|\gamma {}^{\prime }(t)|dt\\ & =& M\cdot ℒ(\gamma )\end{array}$

Siehe auch

• rektifizierbare Kurve

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