Kurs:Funktionentheorie/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit

n-fache reelle Differenzierbarkeit

Die Funktion

$f:ℝ\to ℝ,$ mit $x\mapsto f(x)=|x|\cdot x$

kann einmal reell differenzieren. Die erste Abbleitung ist aber in 0 nicht mehr differenzierbar.

Aufgabe

• Skizzieren Sie den Graphen der Funktionen $f$ und $f^{\prime }$.
• Lässt sich die Funktion $f:ℝ\to ℝ,$ zu einer holomorphen Funktion $F:ℂ\to ℂ,$ erweitern, bei der $F_{|ℝ}=f$ (d.h. für alle $x\in ℝ$ gilt $f(x)=F(x)$? Begründen Sie Ihre Antwort mit den Eigenschaften holomorpher Funktionen!
• Zeigen Sie, dass Funktion

$f_n:ℝ\to ℝ,$ mit $x\mapsto f(x)=|x|\cdot x^n$

kann $n$-fach reell differenziert werden kann. Die $n+1$-te Abbleitung ist aber in 0 nicht mehr differenzierbar.

Bemerkung

In der komplexen Analysis (Funktionentheorie) wird man sehen, dass eine auf $U\subseteq ℂ$ holomorphe Funktion $f:U\to ℂ$ automatisch ununendlich oft komplex differenzierbar ist, wenn diese bereits einmal auf $U$ komplex differenzierbar ist (siehe Holomorphiekriterien).

Siehe auch

• Kurs:Funktionentheorie