Kurs:Mathematik fuer Anwender/Vektoren und Matrizen

Vektoren und Matrizen

In diesem Kapitel seien, wenn an konkreter Stelle nichts anderes angegeben ist, stets $m$ und $n$ positive natürliche Zahlen.

Definition: Vektoren und Operationen auf Vektoren

1. Wir definieren ${ℝ}^n:=\left\{\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right)\right|v_1,...,v_n\in ℝ\}$.
2. Für alle $x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),y=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)\in {ℝ}^n$ definieren wir durch $x+y:=\left(\begin{array}{c}{x}_1+y_1\\ x_2+y_2\\ ⋮\\ x_n+y_n\end{array}\right)$ eine Addition auf ${ℝ}^n$ und
3. für alle $x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)\in {ℝ}^n$ und $a\in ℝ$ definieren wir durch $a\cdot x=a\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right):=\left(\begin{array}{c}a\cdot x_1\\ a\cdot x_2\\ ⋮\\ a\cdot x_n\end{array}\right)$ eine skalare Multiplikation auf ${ℝ}^n$.
4. Wir nennen ${ℝ}^n$ zusammen mit $+$ und $\cdot$ einen $n$-dimensionalen Vektorraum. (Oft werden dabei $+$ und $\cdot$ nicht gesondert erwähnt, sondern implizit mit vorausgesetzt).
5. Die Elemente von ${ℝ}^n$ heißen Vektoren.
6. Der Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)\in {ℝ}^n$ heißt Nullvektor. Wir schreiben $0_{{ℝ}^n}$ für den Nullvektor.

Bemerkung: Anwendung von Vektoren

Allgemein werden Vektoren in vielen Teilbereichen eingesetzt, einen davon kennen sie wahrscheinlich aus der Schule:

• Geometrie: Parallelverschiebung eines Objekts in der Ebene
• n-Tupel reeller Zahlen (Achtung: Zeilenschreibweise)
• physikalische Größe mit Richtung und Betrag (z.B: Kraft)

Beispiel: Vektoren

• ${ℝ}^3$ besteht aus allen Vektoren der Gestalt $\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$, wobei $x,y,z$ beliebige reelle Zahlen sind. Zum Beispiel sind $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ drei Vektoren in ${ℝ}^3$. Man nutzt den ${ℝ}^3$ im Allgemeinen, um die Lage von Objekten im (uns umgebenden) $3$-dimensionalen Raum zu beschreiben. Dabei bezeichnet der Nullvektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ den Ursprung/Nullpunkt.
• $5\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -5\\ 17\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ -25\\ 85\end{array}\right)$.
• $\left(\begin{array}{c}-1\\ \sqrt{2}\\ 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\\ \sqrt{2}\\ 11\end{array}\right)$.

Lemma: Rechenregeln für Vektoren

Seien $x,y,z\in {ℝ}^n$ (also Vektoren) und $a,b\in ℝ$ (also Skalare). Dann gelten folgende Regeln:

• $x+y=y+x$.
• $x+(y+z)=(x+y)+z$.
• $x+0_{{ℝ}^n}=x$.
• $x+(-x)=0_{{ℝ}^n}$.
  

Dabei ist $(-x)=(-1)\cdot x$ der Gegenvektor zum Vektor $x$.

• $a\cdot (b\cdot x)=(a\cdot b)\cdot x$.
• $(a+b)\cdot x=a\cdot x+b\cdot x$.
• $a\cdot (x+y)=a\cdot x+a\cdot y$.
• $1\cdot x=x$. Hier ist $1$ die Zahl $1$ in $ℝ$.
• $0\cdot x=0_{{ℝ}^n}$. Hier ist $0$ die Zahl 0 in $ℝ$ und $0_{{ℝ}^n}$ der Nullvektor.

Beispiel: Rechenregeln für Vektoren

• Der Gegenvektor zu $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 8\end{array}\right)$ ist $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -8\end{array}\right)$. Es gilt $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 8\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)=0_{{ℝ}^3}$.
• $0\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Definition: Matrix

Eine $m\times n$-Matrix $A$ über $ℝ$ ist ein rechteckiges Schema bestehend aus $m$ Zeilen und $n$ Spalten mit Einträgen aus $ℝ$: $A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \dots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)$ mit $a_{11},a_{12},...,a_{1n},a_{21},...,a_{mn}\in ℝ$.

Bemerkung: Matrix

Der Einfachheit halber schreiben wir $A=(a_{ij})$.
Merkregel für Indizes: “Zeilen zuerst, Spalten später!”

Matrizen sind aber nicht nur irgendwelche Tabellen, sondern mit Matrizen kann man rechnen. So kann man z. B. Matrizen derselben Größe addieren. Das geht genauso wie bei Vektoren und man kann Matrizen ebenso auch mit Elementen aus $ℝ$ multiplizieren:

Definition: Matrixaddition

Es seien $A=(a_{ij})$ und $B=(b_{ij})$ beides $m\times n$-Matrizen über $ℝ$ und es sei $a\in ℝ$.

1. Wir definieren die Summe von $A$ und $B$ komponentenweise. Das heißt $A+B=(a_{ij}+b_{ij})$ ist eine $m\times n$-Matrix über $ℝ$ für die gilt, dass für alle $i\in \{1,...,m\}$ und $j\in \{1,...,n\}$ der Eintrag in der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte genau die Summe der Einträge von $A$ und $B$ in der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte ist.
2. Wir definieren $a\cdot A$ ebenfalls komponentenweise durch $a\cdot A=(a\cdot a_{ij})$

Beispiel: Matrixaddition

Seien $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& -1& 0\end{array}\right)$ und $B=\left(\begin{array}{ccc}4& -5& 0\\ 2& 3& 0\end{array}\right)$.

• Dann ist $A+B=\left(\begin{array}{ccc}1+4& 2+(-5)& 3+0\\ 3+2& -1+3& 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}5& -3& 3\\ 5& 2& 0\end{array}\right)$ und
• $5\cdot A=5\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& -1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}5\cdot 1& 5\cdot 2& 5\cdot 3\\ 5\cdot 3& 5\cdot (-1)& 5\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}5& 10& 15\\ 15& -5& 0\end{array}\right)$.

Man kann Matrizen mit zueinander passenden Größen (Achtung!) auch multiplizieren. Diese Multiplikation ist aber ein bisschen komplizierter als die Addition.

Definition: Matrixmultiplikation

Es sei $A=(a_{ij})$ eine $m\times n$-Matrix über $ℝ$ und $B=(b_{jk})$ eine $n\times s$-Matrix über $ℝ$. Die Anzahl $n$ der Spalten von $A$ ist also gleich der Anzahl der Zeilen von $B$. Dann können wir das Produkt von $A$ und $B$ folgendermaßen definieren:
Es ist $C:=A\cdot B$ eine $m\times s$-Matrix über $ℝ$ und der Eintrag in der $i$-ten Zeile und $k$-ten Spalte $c_{ik}$ (für jedes $i\in \{1,\dots ,m\}$ und jedes $k\in \{1,\dots ,s\}$) ist definiert durch $c_{ik}:=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\cdot b_{jk}=a_{i1}\cdot b_{1k}+a_{i2}\cdot b_{2k}+\dots +a_{in}\cdot b_{nk}.$

Anmerkung: Matrixmultiplikation

Wie merkt man sich so etwas?
Zum Beispiel so: Wir nehmen, um den Eintrag in der $i$-ten Zeile und $k$-ten Spalte unserer Matrix $C=A\cdot B$ zu berechnen, die $i$-te Zeile von $A$ und die $k$-te Spalte von $B$ (die haben beide gleich viele Einträge, sonst geht’s nicht!), legen die beiden in Gedanken übereinander, multiplizieren die Zahlen, die aufeinander liegen, und bilden dann die Summe der Ergebnisse. Das muss man üben, sonst kann man das nicht...

Eine kurze Merkregel zur Multiplikation ist: “Zeile mal Spalte”.

Beispiel: Matrixmultiplikation

1. Seien $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& -1& 0\end{array}\right)$ und $B=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ \pi & 2& 1& 5\end{array}\right)$. Dann ist $A\cdot B=$

   $=\left(\begin{array}{cccc}1\cdot 1+2\cdot 0+3\cdot \pi & 1\cdot 1+2\cdot 0+3\cdot 2& 1\cdot 1+2\cdot 0+3\cdot 1& 1\cdot 0+2\cdot 0+3\cdot 5\\ 3\cdot 1+(-1)\cdot 0+0\cdot \pi & 3\cdot 1+(-1)\cdot 0+0\cdot 2& 3\cdot 1+(-1)\cdot 0+0\cdot 1& 3\cdot 0+(-1)\cdot 0+0\cdot 5\end{array}\right)=$

   $=\left(\begin{array}{cccc}1+3\cdot \pi & 7& 4& 15\\ 3& 3& 3& 0\end{array}\right).$ Das Produkt $B\cdot A$ ist dagegen nicht definiert, da die Anzahl der Spalten von $B$ ungleich der Anzahl der Zeilen von $A$ ist.

2. Sei $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 0\end{array}\right)$. Dann ist $A^2=A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 1+1\cdot 2& 1\cdot 1+1\cdot 0\\ 2\cdot 1+0\cdot 2& 2\cdot 1+0\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 2\end{array}\right)$.

3. Sei $A=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ und $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\end{array}\right)$. Dann ist $A\cdot B=\left(\begin{array}{ccc}1\cdot 1& 1\cdot 1& 1\cdot 1\\ 2\cdot 1& 2\cdot 1& 2\cdot 1\\ 3\cdot 1& 3\cdot 1& 3\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 2& 2\\ 3& 3& 3\end{array}\right)$ und $B\cdot A=\left(\begin{array}{c}1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\end{array}\right)$.

Lemma: Rechenregeln Matrixmultiplikation

• Für Matrizen (geeigneter Größe, sodass die Multiplikation definiert ist) gilt: $A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C.$ Die Matrizenmultiplikation ist assoziativ.
• Achtung: $A\cdot B$ und $B\cdot A$ sind im Allgemeinen nicht gleich (manchmal ist $B\cdot A$ nicht einmal definiert, obwohl $A\cdot B$ definiert ist).
  

Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ.

Definition: Produkt aus Matrix und Vektor

Es sei $A=(a_{ij})$ eine $m\times n$-Matrix über $ℝ$ und $v=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right)\in {ℝ}^n$ ein Vektor.
Dann definieren wir das Produkt von $A$ und $v$ mittels $A\cdot v:=\left(\begin{array}{c}{a}_{11}{v}_1+a_{12}{v}_2+...+a_{1n}{v}_n\\ a_{21}{v}_1+a_{22}{v}_2+...+a_{2n}{v}_n\\ ⋮\\ a_{m1}{v}_1+a_{m2}{v}_2+...+a_{mn}{v}_n\end{array}\right)\in {ℝ}^m.$

Bemerkung: Produkt aus Matrix und Vektor

Das Produkt aus Matrix und Vektor ist ein Spezialfall der Matrizenmultiplikation. Wir fassen den Vektor $v$ als $n\times 1$-Matrix auf und multiplizieren dann die $m\times n$-Matrix $A$ mit der $n\times 1$-Matrix $v$ und erhalten eine $m\times 1$-Matrix, d. h. einen Vektor in ${ℝ}^m$.

Das ist auch der (Haupt-) Grund, warum wir in diesem Kapitel Vektoren als Spaltenvektoren schreiben. In der Literatur sieht man auch oft, dass Vektoren als Zeilenvektoren dargestellt werden. Auch wir stellen z. B. Punkte in der Ebene ${ℝ}^2$ häufig als Zeilenvektor $(x,y)$ anstatt in der Form $\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ dar. Und auch die Elemente des kartesische Produkts (die sogenannten Tupel) schreiben wir zeilenweise. Man kann ${ℝ}^n$ als kartesisches Produkt $ℝ\times \cdots \times ℝ$ auffassen und die Vektoren als $n$-Tupel. Sobald aber ein Matrix-Vektorprodukt gebildet werden soll, ist ein Zeilenvektor einfach Quatsch, da dann das Matrix-Vektor-Produkt nicht sinnvoll definiert ist (außer man schreibt den (Zeilen-)Vektor VOR die Matrix, was wir hier nicht tun wollen).

Außerdem identifizieren wir ${ℝ}^1$ und auch die Menge der (reellen) $1\times 1$-Matrizen mit $ℝ$.

Beispiel: Multiplikation Vektor und Matrix

• Es seien $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 2& 1\\ -1& 0& 0\end{array}\right)$ und $B=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 1& 0& -1\\ -7& 20& 6\end{array}\right)$.

  Dann ist $A+B=\left(\begin{array}{ccc}1+2& 2-1& 3+3\\ 0+1& 2+0& 1-1\\ -1-7& 0+20& 0+6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 6\\ 1& 2& 0\\ -8& 20& 6\end{array}\right).$

• Es sei $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 2& 1\\ -1& 0& 0\end{array}\right)$ und $v=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$.
  Dann ist $A\cdot v=\left(\begin{array}{c}1\cdot 1+2\cdot 2+3\cdot 3\\ 0\cdot 1+2\cdot 2+1\cdot 3\\ -1\cdot 1+0\cdot 2+0\cdot 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}14\\ 7\\ -1\end{array}\right).$

• Es seien $A=\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 0& 2& 1& -1& 0\end{array}\right)$ und $v=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\\ 2\\ 100\end{array}\right)$.
  Dann ist $A\cdot v=\left(\begin{array}{c}1\cdot 1+2\cdot (-1)+3\cdot 0+4\cdot 2+5\cdot 100\\ 0\cdot 1+2\cdot (-1)+1\cdot 0+(-1)\cdot 2+0\cdot 100\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}507\\ -4\end{array}\right).$

Lemma: Rechenregeln

Es seien $A=(a_{ij})$ eine $m\times n$-Matrix, $\lambda \in ℝ$ eine reelle Zahl und $v,w\in {ℝ}^n$ Vektoren.
Dann gelten folgende Regeln:

1. $A\cdot (v+w)=A\cdot v+A\cdot w$ und
2. $A\cdot (\lambda \cdot v)=\lambda \cdot (A\cdot v)$.

Auf dieses Lemma werden wir im folgenden Abschnitt noch einmal zurückkommen.