Kurs:Funktionentheorie/Übungen/3. Zettel

Übung zur Funktionentheorie

Abgabe bis 24. November 2017, 10:15

Aufgabe (Integrale, 5 Punkte)

Es bezeichne

$\gamma :[0,1]\to 𝐂$

,

$t\mapsto \exp (2\pi it)$

die Standardparametrisierung des Einheitskreises. Bestimme für

$n\in 𝐙$

das Integral

$\underset{\gamma }{\int }{z}^{n}dz$

Aufgabe (Quadratischer Weg, 5 Punkte)

Es sei $\gamma :[0,4]\to 𝐂$ die durch

$t\mapsto \{\begin{array}{cc}-(1+i)+2t& t\in [0,1]\\ 1-i+2i(t-1)& t\in [1,2]\\ 1+i-2(t-2)& t\in [2,3]\\ -1+i-2i(t-3)& t\in [3,4]\end{array}$

gegebene Parametrisierung des Einheitsquadrats. Berechne

$\underset{\gamma }{\int }{z}^{-1}dz$

Aufgabe (Abschätzung, 5 Punkte)

Es sei $f:[a,b]\to 𝐂$ integrierbar. Man zeige, dass

$|\underset{a}{\overset{b}{\int }}\mathrm{R}\mathrm{e}f(t)dt|\le |\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt|.$

Aufgabe (Umgekehrt, 5 Punkte)

Es sei $\gamma :[a,b]\to 𝐂$ ein Integrationsweg und $f:𝐂\to 𝐂$ stetig. Definiere ${\gamma }^{-}:[a,b]\to 𝐂$ durch ${\gamma }^{-}(t):=\gamma (a+b-t)$. Man zeige

$\underset{{\gamma }^{-}}{\int }f(z)dz=-\underset{\gamma }{\int }f(z)dz$