Kurs:Funktionentheorie/Übungen/2. Zettel

Übung zur Funktionentheorie

Abgabe bis 17. November 2017, 10:15

Aufgabe (Differenzierbarkeit, 5 Punkte)

Untersuche folgende Funktionen auf $𝐂$ auf partielle und komplexe Differenzierbarkeit! Gib jeweils die Stellen an, an denen Differenzierbarkeit vorliegt!

1. $f_1:𝐂\to 𝐂$, $z\mapsto z^2$
2. $f_2:𝐂\to 𝐂$, $z\mapsto z\overline{z}$
3. $f_3:𝐂\to 𝐂$, $z\mapsto \mathrm{R}\mathrm{e}z$
4. $f_4:𝐂\to 𝐂$, $z\mapsto \{\begin{array}{cc}0& z=0\\ \frac{|z{|}^2}{z^2+{\overline{z}}^2}& z\ne 0\end{array}$

Aufgabe (Wirtinger, 5 Punkte)

Bestimme für die Funktionen aus der ersten Aufgabe die partiellen Ableitungen nach $z$ und $\overline{z}$ für die Stellen, an denen sie Existieren.

Aufgabe (Rechnen mit Polynomen, 5 Punkte)

Lösung
Wir betrachten ein Polynom $p:𝐂\to 𝐂$, gegeben durch

$p(z)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{0\le \kappa \le k}{0\le \lambda \le \ell }}{a}_{\kappa \lambda }{x}^{\kappa }{y}^{\lambda }$

mit $x=\mathrm{R}\mathrm{e}z$ und $y=\mathrm{I}\mathrm{m}z$. Zeige, dass sich $p$ auch als Polynom in $z$ und $\overline{z}$ darstellen lässt, indem Du die Koeffizienten in

$p(z)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{0\le \mu \le m}{0\le \nu \le n}}{b}_{\mu \nu }{z}^{\mu }{\overline{z}}^{\nu }$

angibst.

Aufgabe (Kettenregel, 5 Punkte)

Lösung
Seien $f,g:𝐂\to 𝐂$ stetig differenzierbar. Beweise, dass

$\frac{\partial }{\partial z}(f\circ g)=\frac{\partial f}{\partial z}\circ g\cdot \frac{\partial g}{\partial z}+\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}\circ g\cdot \frac{\partial \overline{g}}{\partial z}$

und

$\frac{\partial }{\partial \overline{z}}(f\circ g)=\frac{\partial f}{\partial z}\circ g\cdot \frac{\partial g}{\partial \overline{z}}+\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}\circ g\cdot \frac{\partial \overline{g}}{\partial \overline{z}}$

gelten.