Kurs:Mathematik fuer Anwender/Komplement-, Vereinigungs- und Schnittmenge

Komplement, Vereinigungs- und Schnittmenge

Definition: Komplement

Es seien $M$ und $N$ Mengen.
Die Teilmenge $M\setminus N:=\{x\mid x\in M\wedge x\notin N\}$ von $M$ nennen wir die Differenz der Mengen $M$ und $N$. Ist $N$ eine Teilmenge von $M$ so heißt $M\setminus N$ das Komplement der Menge $N$ in der Menge $M$.
Formal: $x\in M\setminus N\iff x\in M\wedge x\notin N$.

Beispiel: Komplement

• $\{1,2,3,4\}\setminus \{2,4\}=\{1,3\}$,
• $\{1,2,3,4\}\setminus \{2,4,6,8,10\}=\{1,3\}$,
• $\{$Stenotritidae, Colletidae, Melittidae, Megachilidae $\}\setminus \{$Colletidae, Melittidae, Ampulicidae$\}$ = $\{$Stenotritidae, Megachilidae$\}$
• $\mathbb{Z}\setminus \mathbb{N}$ ist die Menge aller echt negativen ganzen Zahlen.

Bemerkung: Komplement

Bezogen auf das Beispiel mit der Menge der Namen der vorkommenden Arten in einem Habitat kann die Differenz wie folgt angewendet werden: nehmen wir an, dass wir eine Menge A mit den Namen der vorkommeden Arten in Habitat 1 haben, und zusätzlich eine zweite Menge mit den Namen derjenigen Arten, die in Habitat 2 vorkommen. Durch Bildung der Differenz zwischen den Mengen A und B kann bestimmt werden, welche Arten lediglich in Habitat 1 vorkommen.

Definition: Schnittmenge

1. Es seien $M$ und $N$ Mengen.
   

Die Teilmenge $M\cap N:=\{x\mid x\in M\wedge x\in N\}$ von $M$ (und auch von $N$) nennen wir den Durchschnitt der Mengen $M$ und $N$.
Formal: $x\in M\cap N\iff x\in M\wedge x\in N$.

Definition: Disjunkt

Wir nennen zwei Mengen $M$ und $N$ genau dann disjunkt, wenn $N\cap M=\varnothing$ gilt.

Beispiel: Schnittmenge

• $\{1,2,3,4\}\cap \{2,4,6,8,10\}=\{2,4\}$
• $\bigcap _{M\in \{\{1,2\},\{2,3\}\}}M=\{1,2\}\cap \{2,3\}=\{2\}$
• $\{1,2\}\cap \{\mathbb{N}\}=\{1,2\}\cap \{\{0,1,2,3,....\}\}=\varnothing$
• $\{1,2\}\cap \mathbb{N}=\{1,2\}\cap \{0,1,2,3,....\}=\{1,2\}$
• $\{$Stenotritidae, Colletidae, Melittidae, Megachilidae $\}\cap \{$Colletidae, Melittidae, Ampulicidae$\}$ = $\{$Colletidae, Melittidae $\}$

Bemerkung: Schnittmenge

Bezogen auf obiges Beispiel mit den Menge der Namen der vorkommenden Arten in zwei Habitaten kann mit der Schnittmenge diejenigen Arten bestimmt werden, die sowohl in Habitat 1 als auch in Habitat 2 vorkommen.

Definition: Vereinigungsmenge

1. Es seien $M$ und $N$ Mengen.
   

Die Menge $M\cup N:=\{x\mid x\in M\vee x\in N\}$ nennen wir die Vereinigung der Mengen $M$ und $N$.
Formal: $x\in M\cup N\iff x\in M\vee x\in N$.

1. Es sei $𝔐$ eine Menge, deren Elemente selbst Mengen sind. Dann ist $\bigcup _{M\in 𝔐}M:=\{x\mid \mathrm{\exists }M\in 𝔐:x\in M\}$ die Vereinigung über (die Elemente von) $𝔐$.
   

Formal: $x\in \bigcup _{M\in 𝔐}M\iff \mathrm{\exists }M\in 𝔐:x\in M$.

Beispiel: Vereinigungsmenge

• $\{1,2,3,4\}\cup \{2,4,6,8,10\}=\{1,2,3,4,6,8,10\}$
• $\bigcup _{M\in \{\{1,2\},\{2,3\}\}}M=\{1,2\}\cup \{2,3\}=\{1,2,3\}$
• $\{$Stenotritidae, Colletidae, Melittidae, Megachilidae $\}\cup \{$Colletidae, Melittidae, Ampulicidae$\}$ = $\{$Stenotritidae, Colletidae, Melittidae, Megachilidae, Ampulicidae $\}$

Bemerkung: Vereinigungsmenge

Bezogen auf obiges Beispiel mit den Menge der Namen der vorkommenden Arten in zwei Habitaten kann mit der Vereiningungsmenge die Arten bestimmt werden, die entweder in Habitat 1 oder in Habitat 2 vorkommen.