Ebene algebraische Kurve/Glatter Punkt/Liegt nur auf einer Komponente/Fakt/Beweis

Da $P\in C$ wissen wir, dass $F(P)=0$. Weiterhin, weil $P$ glatter Punkt der Kurve, ist ohne Einschränkung $\frac{\partial F}{\partial X}(P)\ne 0$.

Mit Kettenregel gilt $\frac{\partial F}{\partial X}(P)=\sum _{k=1}^n\frac{\partial F_k}{\partial X}(P)\cdot F_1(P)\cdots F_{k-1}(P)\cdot F_{k+1}(P)\cdots F_n(P)$.

Wenn für $i\ne j$ gilt, dass $F_i(P)=F_j(P)=0$, dann hat jedes Produkt einen Nullfaktor $\Rightarrow \frac{\partial F}{\partial X}(P)=0$, Widerspruch!