Reelle Zahlen/Additive Gruppe und positive multiplikative Gruppe/Bijektion/Aufgabe/Lösung

Sei

${\phi }_b:ℝ\to {ℝ}_{+},x\mapsto b^x.$

Dann ist ${\phi }_b$ für jedes beliebige $b>0$ ein Homomorphismus, denn für alle $x,y\in ℝ$ gilt

${\phi }_b(x+y)=b^{x+y}=b^x\cdot b^y={\phi }_b(x)\cdot {\phi }_b(y).$

Nun hat ${\phi }_b$ im Fall $b\ne 1$ aber auch eine Umkehrfunktion,

${\phi }_b^{-1}:{ℝ}_{+}\to ℝ,x\mapsto {\log }_{b}x.$

Sie ist ebenfalls ein Homomorphismus (in die entgegengesetzte Richtung), denn für alle $x,y\in {ℝ}_{+}$ gilt

${\phi }_b^{-1}(x\cdot y)={\log }_b(x\cdot y)={\log }_{b}x+{\log }_{b}y={\phi }_b^{-1}(x)+{\phi }_b^{-1}(y)\cdot {\phi }_b^{-1}(y).$

Damit sind die beiden Homomorphismen ${\phi }_b$ und ${\phi }_b^{-1}$ bijektiv und per Definition Isomorphismen.