Projekt:Mathe-Werkstatt/Fibonacci-Folge mit Lücken

Die Fibonacci-Folge $(F_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ist folgendermaßen definiert:  $F_1:=1,F_2:=1,F_n:=F_{n-1}+F_{n-2}\text{ für alle }n\in {\mathbb{N}}_{\ge 3}$.

Offenbar gilt für alle $n\in \mathbb{N}$:  $F_n=\{\begin{array}{cc}1& ,n\le 2\\ F_{n-1}+F_{n-2}& ,\text{sonst}\end{array}$  .

Die ersten Fibonacci-Zahlen lauten $1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,\dots$.

Nun definieren wir eine neue Funktion $G:\mathbb{N}\cup (\mathbb{N}+\frac{1}{2})\to \mathbb{Q}$ wie folgt:   Für alle $n\in \mathbb{N}\cup (\mathbb{N}+\frac{1}{2})$ sei $G(n):=\{\begin{array}{cc}1& ,n\le 2\\ G(n-1)-G(n-\frac{1}{2})& ,\text{sonst}\end{array}$  .

Interessant ist nun die Auswertung von G an ganzzahligen Argumenten: Es ergibt sich nämlich
$(G(n){)}_{n\in \mathbb{N}}=(1,1,1,2,5,13,34,89,233,610,1597,4181,\dots )$;
d.h. es liegt nahe zu vermuten, dass jede zweite Fibonacci-Zahl ausgelassen wird.

Jene Vermutung zu bestätigen oder zu widerlegen, soll das Hauptergebnis dieses Projekts sein.

--Mathekatze (Diskussion) 22:12, 21. Jul. 2013 (CEST)